北镇中学、莱芜一中、德州一中2016届高三4月份联考
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么Ｐ（A+B）=P(A)+ P(B)；
如果事件A，B独立，那么Ｐ（AB）=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.定义集合，若集合集合，则集合的子集个数为( )
A． B．3 C．4 D．无数个
【答案】C
【解析】,所以集合的子集个数为个.
【考点】新定义问题、集合的运算、子集.
2. 为虚数单位，复数的共轭复数为( )
A． 1 B．i C． -1 D．-i
【答案】A
【解析】，所以复数的共轭复数1.
【考点】复数四则运算及共轭复数的概念.
3．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x＋y的值为( )
A．168 B．169 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题意得，甲班学生成绩的中位数为83，则＝83－80＝3，乙班学生成绩的平均数是86，则⇒，故x＋y＝9.
【考点】茎叶图、中位数、平均数
4. 命题；命题是”关于 的不等式的解集是实数集的充分必要条件，则下面结论正确的是（ ）
A. 是假命题 B. 是真命题
C. 是假命题 D. 是假命题
【答案】C
【解析】对于命题， 因此命题是真命题；
对于命题，”关于 的不等式的解集是实数集的充分必要条件是或，即，所以是”关于 的不等式的解集是实数集的充分不必要条件，因此命题是假命题；是假命题；是真命题.
【考点】充要条件，简易逻辑．
5. 已知变量满足约束条件若目标函数 (其中)仅在点(1，1)处取得最大值，则的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1，1)作l的平行线
l′，则直线l′介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1之间，
因此，－＜－a＜0，即0＜a＜.
【考点】线性规划.
6． 设 为正数， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得.
又
即，所以.
由不等式成立的条件，得，所以
【考点】基本不等式.
7. 如图是函数在区间上的图象，为了得到的图象，只要将函数的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
【答案】D
【解析】由图象可知A＝1，T＝－＝π，∴ω＝＝2.
∵图象过点，且在函数的单调递减区间上，
∴sin＝0，∴
∴φ＝＋2kπ，k∈Z. ∴＝sin＝sin.
故将函数= sin向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin x的图象．
法二：也可通过平移法求出φ的值.
【考点】三角函数的图象性质及图象变换.
8. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（ ）
A.18 B.24 C. 36 D. 72
【答案】C
【解析】由于均分8人，所以甲、乙两个部门各4人。完成这件事情分两类：第一类，甲部门有两名电脑编程人员，有种不同的分配方案；第二类，甲部门有一名电脑编程人员，有种不同的分配方案。故共有36种不同的分配方案.选C
【考点】排列组合.
9. 如图，菱形的边长为2，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为( )
A． 3 B． C． 6 D．9
【答案】D
【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积,所以
【考点】平面向量的数量积.
10．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则 ( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设则为奇函数，所以
所以.
【考点】函数的奇偶性
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 .
【答案】
【解析】
【考点】程序框图，等差数列求和.
12. 已知在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则,.
平面，则是平面的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为，则.
法二：几何法.
【考点】直线与平面所成的角.
13．若，则关于的不等式的解集为___________
【答案】
【解析】根据绝对值的意义，表示数轴上的对应点到和的对应点的距离之和，故最小值为，所以对满足故关于的不等式的解集为.
【考点】绝对值不等式
14．椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 ____________.
【答案】
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线的渐近线为，记椭圆的左焦点为，依题意得四边形为矩形，是正三角形，，，椭圆的离心率为.
【考点】椭圆，双曲线的定义及简单几何性质.
15．对于函数给出定义：
设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.
某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算= .
【答案】
【解析】,,,得.
,所以的“拐点”即对称中心为，所以.
设，
则，
两式相加得.
【考点】导数, 函数的对称性，倒序相加求和.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16. （本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求及的值.
【解析】（Ⅰ）
-------------------------------------------2分
即---------------------------------4分
又，-------------------------------------------5分
（Ⅱ）----------------------6分
由正弦定理，得----------------------8分
且----------------------9分
，由正弦定理得：
解得----------------------12分
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式.
17.（本小题满分12分）
2016年上半年，股票投资人袁先生同时投资了甲、乙两只股票，其中甲股票赚钱的概率为，赔钱的概率是；乙股票赚钱的概率为，赔钱的概率为.对于甲股票，若赚钱则会赚取5万元，若赔钱则损失4万元；对于乙股票，若赚钱则会赚取6万元，若赔钱则损失5万元.
（Ⅰ）求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率；
（Ⅱ）试求袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票赚钱的概率为
-----------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）用万元表示袁先生2016年上半年同时投资甲、乙两只股票的总收益，则的所有可能取值为-----------------------------------------------------------------------------------5分
---------------------------------------------------6分
---------------------------------------------------7分
---------------------------------------------------8分
--------------------------------------------------9分
所以，的分布列为
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
的数学期望为
-------------------------------------------------12分
【考点】相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列及期望.
18. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，
使得∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．
【解析】（Ⅰ）因为平面平面，平面∩平面,
所以平面，又平面,
所以-----------------------------------------1分
在折起过程中，,同时∩，
所以平面-----------------------------------------2分
方法一：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
若时，则各点坐标如下：，, , .
可得平面的法向量．--------------------------------------3分
因为，所以
所以,--------------------------------------4分
故.
则,解得.
所以线段上存在一点，且，使得∥平面ABEF. --------------------------------------5分
方法二：线段上存在一点，使得∥平面ABEF，则此时.理由如下：
当时，，可知.
过点作∥交于点,则有--------------------------------------3分
又，可得,故.
又,∥∥,所以四边形为平行四边形.
所以∥,--------------------------------------4分
又平面ABEF，平面ABEF
所以∥平面ABEF-------------------------------------5分
（Ⅱ）设，所以，,
所以，--------------------------------------6分
所以当时，有最大值，且最大值为.--------------------------------------7分
可得, , ，.
所以,,,.
设平面的一个法向量为,
则,即.--------------------------------------------------8分
取，则,-------------------------------------------------------9分
设平面的一个法向量为,
则，即--------------------------------------10分
同理可得--------------------------------------11分
所以
所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.--------------------------------------12分
【考点】线面平行与垂直的判定与性质，几何体的体积，二面角.
19．(本小题满分12分)
已知数列的前和为，且；数列是公比大于1的等比数列，且满足，.
（Ⅰ）分别求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）时， ------------------------------------------1分
时，，
又因为，所以.---------------------------------------2分
设等比数列的公比为，---------------------------------------3分
由已知，即，----------------4分
解得，或（舍去，因为）
所以，----------------5分
（Ⅱ），---------------------------6分
设数列的前项和为，数列的前项和为.
当为偶数时，
-----------------------------7分
当为奇数时，
--------------------------------------8分
则 ----------------9分
-得
----------------10分
所以----------------11分
所以，----------------12分
【考点】等差数列及等比数列，并项法求和，错位相减法求和.
20. （本小题满分13分）
抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，,----------------1分
焦点坐标为，准线方程为．----------------3分
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．
点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故 ③----------------4分
又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．----------------5分
由已知得，，则． ⑥----------------6分
设点的坐标为，由，则．----------------7分
将③式和⑥式代入上式得，即．
∴线段的中点在轴上．----------------8分
（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为
．----------------9分
由③式知，代入得．
将代入⑥式得，代入得．
因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
，．----------------10分
于是，，
．
因为钝角且、、三点互不相同，故必有．----------------11分
求得的取值范围是或．----------------12分
又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即----------------13分
【考点】抛物线，直线与圆锥曲线的位置关系.
21. （本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ） 判断函数在上的单调性；
（Ⅱ） 若恒成立, 求整数的最大值；
（Ⅲ）求证：.
【解析】（Ⅰ）----------------2分
上是减函数 ---------------- 4分
（Ⅱ），即的最小值大于.
----------------5分
----------------6分
令，则上单调递增, ----------------7分
又 ，存在唯一实根, 且满足
，----------------8分
当时，当时，
∴，故正整数的最大值是3 ----9分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴----------------10分
令, 则 ----------------11分
∴
----------------13分
∴ ----------------14分
方法二：
则当----------------10分
当----------------11分
当----------------12分
----------------13分
----------------14分
【考点】函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等.
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