2016年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}，，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．已知复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A+B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图所示的算法框图中，e是自然对数的底数，则输出的i的值为（参考数值：ln2016≈7.609）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．5π B．9π C．16π D．25π
8．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则f（x）的递增区间为（ ）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
11．△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，0） D．
二、填空题
13 .设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+2a5+a6= ．
14．若x，y满足约束条件，z=x﹣2y，则z的取值范围是 ．
15．某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟之间，如图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是 分钟．
16．已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点 P，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（ A），求△ABC的面积．
18．随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少
都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．
（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
附：
P（k2＞k0）
0.4
0.25
0.15
0.10
k0
0.708
1.323
2.072
2.706
19．如图，圆柱O﹣O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点 E、F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若DF与底面所成角为，求几何体EF﹣ABCD的体积．
20．已知圆M：的圆心是椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），OA、OB斜率之积为，求的值．
21．已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC的交点D恰为BC边的中点，过点D作DE⊥AC于点E．
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠B=30°，求的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．
2016年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}，，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】分别求出集合A，B，从而求出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}={x|0≤x≤2}，
={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1，2}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查不等式的解法，是一道基础题．
2．已知复数z满足（1+i）z=（1﹣i）2，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则答案可求．
【解答】解：由（1+i）z=（1﹣i）2，
得．
∴，
∴z的共轭复数的虚部为1．
选D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3．设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A+B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；解三角形；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】由A+B+C=π，A+B＜C，可得，反之不成立．即可判断出结论．
【解答】解：由A+B+C=π，A+B＜C，可得，
故三角形为钝角三角形，反之不成立．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、解三角形、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．如图所示的算法框图中，e是自然对数的底数，则输出的i的值为（参考数值：ln2016≈7.609）（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．
【分析】由题意，模拟执行程序，可得当ei≥2016时，退出循环，输出i的值，当ei＜2016时，继续循环，由此即可解得输出的i的值．
【解答】解：由ei≥2016，得i≥ln2016，
而ln2016≈7.609，
则输出的i的值为8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．
5．双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，
可得，，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．16
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．
【解答】解：由，有ab=1，
则，
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．5π B．9π C．16π D．25π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的形状，求出球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面直径为3，高为4的圆柱与它的外接球组成的几何体，球的直径为5，所以表面积为25．
故选：D．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的外接球的表面积的求法，考查计算能力．
8．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．
【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，
∴f（x）在[0，+∞）为增函数，
∵=f（﹣2）=f（2），
1＜20.3＜2＜log25，
∴c＞b＞a，
故选：B．
【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比的等比数列，
由S6=378，得，解得：a1=192，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则f（x）的递增区间为（ ）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．再根据正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：由图象可知A=2，，所以T=π，故ω=2．
由，得（k∈Z）．∵，∴，所以．
由（k∈Z），得（k∈Z）．
所以f（x）的单增区间是（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．
11．△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】可作图，取BC边的中点D，并连接AD，从而可以得出，，从而有，这样即可求出和的值，从而便可找出错误的结论．
【解答】解：A．如图，设边BC的中点为D，则：
，；
∴，∴该选项正确；
B．∵，∴，∴该选项正确；
C.；
∴，∴该选项错误；
D．AD⊥BC，由前面，∴，即，∴该选项正确．
故选：C．
【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及数量积的计算公式，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，向量垂直的概念．
12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，0） D．
【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合求解即可．
【解答】解：函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，
即f（x）=k，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，y=f（x）的图象，
结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案为D，
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的图象以及函数的零点的关系，考查转化思想以及数形结合的应用．
二、填空题
13 .设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+2a5+a6= 16 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】S8=32，可得=32，可得a4+a5=a1+a8．利用a2+2a5+a6=2（a4+a5）即可得出．
【解答】解：∵S8=32，
∴=32，可得a4+a5=a1+a8=8．
则a2+2a5+a6=2（a4+a5）=2×8=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．若x，y满足约束条件，z=x﹣2y，则z的取值范围是 [﹣3，2] ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用．
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=x﹣z，则﹣z表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：
由z=x﹣2y可得，y=x﹣z，则﹣z表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大
由可得B（1，2），由，
可得A（2，0）
∴Zmax=2，Zmin=﹣3
则z=x﹣2y∈[﹣3，2]
故答案为：[﹣3，2]．
【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
15．某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟之间，如图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是 56.5 分钟．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】平均运动时间用组中值×频率，即可得到结论．
【解答】解：平均数为35×0.1+45×0.1+55×0.5+65×0.2+75×0.05+85×0.05=56.5，
故答案为：56.5．
【点评】本题考查了频率分布直方图和平均数的求法，属于基础题．
16．已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点 P，则的最小值为 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可作出图形，由图形可看出，而根据抛物线的定义，|FQ|等于Q到抛物线C的准线y=﹣2的距离，根据图形便可看出Q到准线的最短距离为2，从而便可得出的最小值为3．
【解答】解：如图，；
由抛物线的定义知：为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，；
∴；
即的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】考查圆心和切点连线垂直于切线，余弦函数的定义，直角三角形边的关系，以及抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，以及数形结合解题的方法．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（ A），求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，利用周期公式即可计算得解．
（II）由正弦定理可得c=2b，由题意，是f（x）的最大值，结合范围，可求，由余弦定理得b2的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解： =．…
（I） ．…
（II）∵A，B，C为△ABC的内角，且sinC=2sinB，
∴c=2b，
又∵是f（x）的最大值，，
∴，∴．…
在△ABC中，由余弦定理得，
∴，
∴．…
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18．随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．
（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询．
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
附：
P（k2＞k0）
0.4
0.25
0.15
0.10
k0
0.708
1.323
2.072
2.706
【考点】线性回归方程．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计．
【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式计算概率；
（II）计算K2，与2.072比较大小得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）①7×=2．
②在抽取7个宝宝中，出生在市第一医院的二孩宝宝由2人，出生在市妇幼保健院的二孩宝宝有1人．
从7个宝宝中随机抽取2个的可能事件共有=21个，其中两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的基本事件有=2个．
∴两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率P=．
（Ⅱ）列联表如下：
一孩
二孩
合计
第一医院
20
20
40
妇幼保健院
20
10
30
合 计
40
30
70
，故没有85%的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关．
【点评】本题考查了分层抽样原理，古典概型的概率计算，独立检验的统计思想，属于基础题．
19．如图，圆柱O﹣O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点 E、F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若DF与底面所成角为，求几何体EF﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件证明BF⊥平面ADF，然后证明平面ADF⊥平面CBF．
（Ⅱ）推出，求出四棱锥F﹣ABCD的高为，底面面积SABCD=2，求出体积，然后之后求解几何体EF﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF．…
（Ⅱ）解：因AD垂直于底面，若DF与底面所成角为，则，故AF=1，
则四棱锥F﹣ABCD的高为，又SABCD=2，；
三棱锥C﹣BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，
所以，则，
所以几何体EF﹣ABCD的体积为．…
【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．
20．已知圆M：的圆心是椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），OA、OB斜率之积为，求的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标为，通过，求出椭圆的左焦点坐标，设直线l的方程为：，利用直线l与圆相切求出K，得到直线l的方程与椭圆方程．
（Ⅱ）通过点的坐标满足椭圆方程，结合OA、OB斜率之积为，推出x1x2+4y1y2=0，转化求解，然后求出结果．
【解答】解：（Ⅰ） 圆
圆心坐标为，∴
过椭圆C：的左焦点和上顶点的直线l的斜率显然大于0，可设直线l的方程为：，因为直线l与圆相切，∴，
∴，又∵k＞0
∴直线l的方程为：，
∴…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x2+4y2=4，有，，
由OA、OB斜率之积为可得，x1x2+4y1y2=0，∵ ，
∴=，
∴，，
∴…
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，难度比较大．
21．已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域与导数，通过a≥0，a＜0，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
（Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通过化简所证明的不等式，结合，，构造函数，利用导函数的单调性，推出ϕ（t）在[e2，+∞）上单调增，推出结果即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域为{x|x＞0}，
，
（1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调增；
在上单调增；
在上单调减．…
（Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，
∴lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）=
令，令，则
令，令，则，
∴ϕ（t）在[e2，+∞）上单调增，
…．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC的交点D恰为BC边的中点，过点D作DE⊥AC于点E．
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠B=30°，求的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；规律型；数形结合；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）连接OD．证明OD∥AC．推出DE⊥OD，得到DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）说明AD⊥BC．求出∠ADE=30°．在直角三角形AED与在直角三角形DEC中求解所求比值即可．
【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OD．
因为O是AB的中点，D是BC的中点，
所以 OD∥AC．
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．…
（Ⅱ）因为AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，所以AD⊥BC．
又D是BC的中点，所以 AB=AC．故∠ACD=∠B=30°．
因为DE⊥AC，所以∠ADE=30°．在直角三角形AED中，；
在直角三角形DEC中，．
于是．…
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形的解法，考查计算能力．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，α为直线的倾斜角）．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
【考点】坐标系的作用；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）通过当时，当时，分别求出直线l的普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，然后求解曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，利用△=0，求解直线l倾斜角α．
【解答】解：（Ⅰ）当时，直线l的普通方程为x=﹣1；
当时，直线l的普通方程为y=（tanα）（x+1）．…
由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
所以x2+y2=2x，即为曲线C的直角坐标方程．…
（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，整理得t2﹣4tcosα+3=0．
由△=16cos2α﹣12=0，得，所以或，
故直线l倾斜角α为或．…
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程的应用，考查计算能力．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x﹣3|﹣|x+2|＜1．
当x＜﹣2时，3﹣x+x+2＜1，得5＜1，不成立；
当﹣2≤x＜3时，3﹣x﹣x﹣2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；
当x≥3时，x﹣3﹣x﹣2＜1，即﹣5＜1，恒成立，所以x≥3．
综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…
（Ⅱ） 因为f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|≤|（x﹣3）﹣（x+a）|=|a+3|，
所以f（x）的最大值为|a+3|．
对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．
当a≥﹣3时，a+3≤2a，得a≥3；
当a＜﹣3时，﹣a﹣3≤2a，a≥﹣1，不成立．
综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．
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