2016年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟试卷（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]
2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
3．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点．甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
5．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
7．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8．如图所示程序框图中，输出S=（ ）
A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66
9．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
10．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）ex D．y=
11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）
12．若a是f（x）=sinx﹣xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则∀x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．cosa≥
C．≤a≤2π D．a﹣cosa≥x﹣cosx
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则b等于 ．
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= ．
16．已知函数，若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围是 ．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn•log3（1﹣Sn+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值．
18．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．
19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．
21．已知函数f（x）的导函数f′（x）=x2+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．
（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．
（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
2016年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】根据函数成立的条件，求出函数的定义域B，根据不等式的性质求出集合A，然后根据并集的定义即可得到结论．
【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，
要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，
∴函数的定义域B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2]，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础
2．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．
【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
3．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点．甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】列举出所有情况，看甲掷得的向上的点数比乙大的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：甲、乙二人各掷骰子一次，得到所有的基本事件有
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
共36种，
显然甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，
故甲掷得的向上的点数比乙大的概率为P=．
故选：C．
【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
4．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
5．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想．
【分析】利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出函数的解析式即可．
【解答】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．
6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
【考点】独立性检验．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论
【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k=．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
故选C．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
7．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由 sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．
【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即 tanθ=2．
∴sin2θ+cos2θ===1，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
8．如图所示程序框图中，输出S=（ ）
A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66
【考点】循环结构．菁优网版权所有
【专题】计算题；简易逻辑．
【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．
【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；
第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；
第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；
…
直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，
S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．
9．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．
【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
V==3⇒x=3．
故选D．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
10．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=
C．y=（x2﹣2x）ex D．y=
【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；
B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；
C中函数y=x2﹣2x与y=ex的积，通过分析图象是满足条件的；
D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．
【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=ex＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）ex的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，
则c＞，即有＜c＜5．
由离心率公式可得e1•e2===，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1•e2+1．
∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
12．若a是f（x）=sinx﹣xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则∀x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．cosa≥
C．≤a≤2π D．a﹣cosa≥x﹣cosx
【考点】函数的零点．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用导数研究单调性，运用零点的存在性定理判断出a所在的范围，根据f（x）的正负确定g（x）=的最小值．
【解答】解：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0，
∴a∈（π，2π），
∴当x∈（0，a），f（x）＞0，当x∈（a，2π），f（x）＜0，
令g（x）=，g′（x）=，
∴当x∈（0，a），g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（a）．
故选：A．
【点评】本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则b等于 5 ．
【考点】余弦定理；三等分角问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．
【解答】解：∵，B=45°，面积S=2，
∴S=acsinB==2a=2．
∴a=1
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=12+（4）2﹣2×1××=25
∴b=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．
14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，
∴r2=（）2+（a）2，即r=a，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==．
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= 4 ．
【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．
【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系
可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），
故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），
所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），
故==（，）•（2，2）=4
或=（，）•（2，2）=4，
故答案为：4
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．
16．已知函数，若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围是 （﹣∞，2）∪（3，5） ．
【考点】函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，或
∴a＜2或3＜a＜5
故答案为：（﹣∞，2）∪（3，5）．
【点评】本题考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn•log3（1﹣Sn+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值．
【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由﹣，，成等差数列建立关于q的方程，解出q，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用前n项和公式表示出Sn+1，从而表示出bn，利用裂项相消法求出b1b2+b2b3+…+bnbn+1，建立关于n的方程，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比q，
由﹣，，，成等差数列，
得，
解得或q=﹣1（舍去），
∴；
（Ⅱ）∵，
∴=﹣n﹣1，
∴，
，
==，
解得：n=100．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及等比数列的前n项和公式和裂项相消法求和，属于中档题．
18．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，然后求解这40辆小型车辆的平均车速．
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数，车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出所有基本事件，车速在[65，70）的车辆数，然后求解概率．
【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…
这40辆小型车辆的平均车速为：（km/t）…
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆）
车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f）（e，f）共15种
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共14种
所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．
19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
【考点】组合几何体的面积、体积问题；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
（II）利用线线平行证明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可证面面平行；
（III）把多面体分割成四棱锥A﹣BDEF和四棱锥C﹣BDEF，分别求出体积，再求和．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH⊂平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，
∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，
同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．
20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及，设椭圆方程为，将点的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，通过，求解∠APB的大小为定值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，
故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x2=4y…
设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为，即，
同理l2的方程为，
令，即，显然x1≠x2，
故，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），
故点Q的轨迹方程是y=﹣1…
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，
此时两条切线方程分别为，此时，
若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，
则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
与椭圆方程联立消元得…
由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，
故，
整理得…
切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…
点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．
综上可知：∠APB的大小为定值，得证…
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．
21．已知函数f（x）的导函数f′（x）=x2+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．
（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）利用函数的导数，求出k1=f'（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x0≠0），利用斜率相等推出b=﹣3a2，化简f'（x）=x2+2ax﹣3a2=（x+3a）（x﹣a），通过①当a＞0时，②当a＜0时，分别求解单调区间．
（2）由（1）若k2=tk1，利用f（x）无极值，，求出t的范围，利用f（b）＜f（1﹣2t），推出3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），然后求解a的范围．
【解答】解：（1）由已知，k1=f'（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x0≠0）
则所以，即，
则．
又4k2=5k1，所以﹣3a2+4b=5b，即b=﹣3a2
因此f'（x）=x2+2ax﹣3a2=（x+3a）（x﹣a）
①当a＞0时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3a）和（a，+∞），减区间为（﹣3a，a）．
②当a＜0时，f（x）的增区间为（﹣∞，a）和（﹣3a，+∞），减区间为（a，﹣3a）．…
（2）由（1）若k2=tk1，则，∵ab≠0，∴t≠1，
于是，所以，
由f（x）无极值可知，，即，
所以
由f（b）＜f（1﹣2t）知，b＜1﹣2t，即，
就是3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），
而，故，所以，
又a≠0，因此．…
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．
（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】推理和证明．
【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．
（2）通过三角形的两角和，求解角即可．
【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为．消去参数θ，
可得曲线…
（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为
由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，
x2+2y2=6表示一椭圆…
取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0
由△≥0得
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…
【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5
∴﹣7＜|x﹣1|＜3，
得不等式的解为﹣2＜x＜4…
（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，
所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…
【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
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