2016年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
2．若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1 B．﹣1 C．0 D．1
3．有下列关于三角函数的命题
P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；
P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；
P3：∃x0∈R，2cosx0=3；
P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（ ）
A．P1，P4 B．P2，P4 C．P2，P3 D．P1，P2
4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（ ）
A． B．π C．2π D．
6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
7．若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣2，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A．15π B． C． π D．6π
9．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．3f（2）＜2f（3） B．3f（4）＜4f（3） C．2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1）
10．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）
11．如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P
所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
14．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是 ．
15．某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这5项工程的不同排法种数是 ．（用数字作答）
16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 ．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1）且a2=b1，a5=b2
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an•bn，设Tn为{cn}的前n项和，求Tn．
18．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
分组
频数
频率
[10，15）
5
0.25
[15，20）
12
n
[20，25）
m
p
[25，30）
1
0.05
合计
M
1
19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（3）求证：ln＜（n∈N+）
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．
（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
2016年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．
【解答】解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
2．若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】复数的基本概念．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．
【解答】解：因为复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，
所以a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．
3．有下列关于三角函数的命题
P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；
P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；
P3：∃x0∈R，2cosx0=3；
P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（ ）
A．P1，P4 B．P2，P4 C．P2，P3 D．P1，P2
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】阅读型；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．
【解答】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx
==＞0，则P1为真命题；
对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；
对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]， ∉[﹣1，1]，则P3为假命题；
对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），
则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．
故选D．
【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．
4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】算法和程序框图．
【分析】算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，
∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，
故输出的n=5．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
5．已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（ ）
A． B．π C．2π D．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．
【解答】解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2
函数的周期T=2π
值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期
b﹣a＜2π
故选C
【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．
6．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
附：K2=，则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
B．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”
【考点】独立性检验．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论
【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．
则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．
代入K2=，
得k2的观测值k=．
因为2.706＜3.030＜3.841．
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
即在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”
故选C．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，此题是基础题．
7．若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣2，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，
此时最小值为﹣2，即y﹣x=﹣2，则x﹣y﹣2=0，
当y=0时，x=2，即A（2，0），
同时A也在直线kx﹣y+2=0上，代入解得k=﹣1，
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．
8．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A．15π B． C． π D．6π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设球心为O，OF=x，则CF=，EF=，可得R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，求出x，可得R，即可求出球的表面积．
【解答】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
9．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．3f（2）＜2f（3） B．3f（4）＜4f（3） C．2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】依题意，f′（x）＜0， ⇔＞0⇒[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．
【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵＞x，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；
由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；
1•f（2）＞2f（1），排除D；
故选A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得[]′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能力，属于中档题．
10．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．
【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，
∴b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．
11．如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．
【解答】解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，
∴AP=，
即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．
∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，
即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，
面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积
为，
∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．
【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），
对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），
∴可得：＞，对于x＞1恒成立．
设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，
∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，
故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，
∴k的最大值为3．
故选：B
【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 26
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图知几何体为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，利用三视图的数据求解体积即可．
【解答】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：
三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．
∴几何体的体积V==26．
故答案为：26．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
14．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是 ．
【考点】向量的模；三角形五心．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据点G是△ABC的重心，故=（+），又由∠A=120°，•=﹣2，我们可以求出||•||=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到||的最小值．
【解答】解：∵∠A=120°，•=﹣2，
∴||•||=4，
又∵点G是△ABC的重心，
∴||=|+|==≥=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出|+|的取值范围是解答本题的关键，另外根据点G是△ABC的重心，得到=（+），也是解答本题的关键．
15．某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这5项工程的不同排法种数是 12 ．（用数字作答）
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有种方法，同理甲在第二位置共有2×2种方法，甲在第三位置时，共有2种方法．利用加法原理即可得出．
【解答】解：安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有种方法，
同理甲在第二位置共有2×2种方法，甲在第三位置时，共有2种方法．
由加法原理可得： +4+2=12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了排列与乘法原理，优先安排除了甲乙丙3个工程后剩下的2个工程的方案是解题的关键，属于中档题．
16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为 y2=4x或y2=16x ．
【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=，
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1）且a2=b1，a5=b2
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an•bn，设Tn为{cn}的前n项和，求Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=（bn﹣1），
∴b1=S1=，解得b1=3．
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=，
化为bn=3bn﹣1．
∴数列{bn}为等比数列，
∴．
∵a2=b1=3，a5=b2=9．
设等差数列{an}的公差为d．
∴，解得d=2，a1=1．
∴an=2n﹣1．
综上可得：an=2n﹣1，．
（Ⅱ）cn=an•bn=（2n﹣1）•3n．
∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，
3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1．
∴﹣2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1
=﹣（2n﹣1）•3n+1﹣3=（2﹣2n）•3n+1﹣6．
∴．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
分组
频数
频率
[10，15）
5
0.25
[15，20）
12
n
[20，25）
m
p
[25，30）
1
0.05
合计
M
1
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布表；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）读频率分布直方图得出各自对应的值．
（2）求出随机变量X的所有可能取值和各自的概率从而得出分布列．
【解答】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
所以X的分布列为：
X
0
200
400
600
P
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．
19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．
【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，
D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，
所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，
所以∠AB1B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB1，
又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，
所以CO⊥AB1
所以，AB1⊥面BCD，
因为BC⊂面BCD，
所以BC⊥AB1．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），
又因为=2，所以
所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），
则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，
设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，
所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…
【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．
（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．
【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1
所以椭圆C的方程是…
（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：
由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•） …
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…
将（•）代入得：m2=，…
经检验满足△＞0．…
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
21．已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（3）求证：ln＜（n∈N+）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直求出m=﹣2，则直线l的方程可求，由点到直线的距离公式得答案；
（Ⅱ）把对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立转化为，然后构造函数，利用导数对m≤0和m＞0分类讨论求得m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立，令，结合不等式得到不等式
，即，然后利用累加求和得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=，得，
∴，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．
原点O到直线l的距离为；
（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，即，也就是，
设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
．
①若m≤0，∃x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，
当△≤0，即m时，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
，，
当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．
综上所述，m；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立．
不妨令，
∴ln，
（k∈N*）．
∴．
．
…
．
累加可得：，（n∈N*）．
即ln＜（n∈N*）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式
是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是压轴题．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．
（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】推理和证明．
【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．
（2）通过三角形的两角和，求解角即可．
【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为．消去参数θ，
可得曲线…
（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为
由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，
x2+2y2=6表示一椭圆…
取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0
由△≥0得
故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…
【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．
（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5
∴﹣7＜|x﹣1|＜3，
得不等式的解为﹣2＜x＜4…
（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，
所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…
【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
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