2015-2016学年度下学期半期5校联考数学试题（理科）
命题人：阳澜 审题人：罗青春
考试时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（）
A． B． C． D．
2．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣2）的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
4．已知向量若则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．设0.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
6．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．12 B． C．8 D．10
7．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
8．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？
9．已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．若函数在上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）
11．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为( )
A．13 B．12 C．11 D．10
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分
层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生 ．
14．已知正数x、y，满足，则x+2y的最小值为 ．
15．若满足约束条件，则的最大值为_______．
16．已知函数，给出下列结论：
①函数的值域为；
②函数在[0， 1]上是增函数；
③对任意＞0，方程在[0，1]内恒有解；
④若存在，使得成立，则实数的取值范围是。
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（本小题满分10分）
已知向量．令．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值．
18．（本小题满分12分）
等差数列中，，公差且成等比数列，前项的和为.
（1）求及;
（2）设，，求.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）证明 平面；
（2）证明平面EFD；
（3）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．
21．（本小题满分12分）
某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为42万元，且每
生产1百台的生产成本为15万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：
（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；
（2）要使工厂有盈利，求产量的范围；
（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？
22．（本小题满分12分）
已知圆经过点A（－2，0），B（0，2），且圆心在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆相交于P、Q两点．
（1）求圆的方程；
（2）若，求实数k的值；
（3）过点作动直线交圆于，两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年度下学期半期5校联考数学试题（理科）
参考答案
命题人：阳澜 审题人：罗青春
1-5:CBDCD 6-10:DBBCC 11-12:CC
1．C．
【解析】
试题分析：由题意可知，则，∴，故选C．
考点：集合的关系．
2．B
【解析】
试题分析：先根据f（x）是定义在R上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．
解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2），
又∵当x＞0时，f（x）=log2x，
∴f（2）=log22=1，
∴f（﹣2）=﹣1．
故答案是B．
考点：函数的值．
3．D
【解析】
试题分析：化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．
解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移单位即可．
故选：D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
4．C
【解析】
试题分析：由已知，因为，所以，，所以．故选C．
考点：向量垂直的坐标运算，向量的模．
5．D
【解析】
试题分析：
由幂函数的性质比较a，b的大小，再由对数函数的性质可知c＜0，则答案可求．
解：∵0＜＜0.50=1，
c=log50.3＜log51=0，
而由幂函数y=可知，
∴b＞a＞c．
故选：D．
考点：指数函数的图象与性质．
6．D
【解析】
试题分析：由等比数列的性质知：，故
，所以正确答案为D．
考点：1、等比数列的性质；2、对数运算．
7．B
【解析】
试题分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．
解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4，
故选B
考点：简单空间图形的三视图．
8．B
【解析】
试题分析：根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．
解：根据流程图，可知
第1次循环：i=2，S=；
第2次循环：i=4，S=；
…
第1008次循环：i=2016，S=；
此时，设置条件退出循环，输出S的值．
故判断框内可填入i≤2016．
故选：B．
考点：程序框图．
9．C
【解析】
试题分析：
考点：余弦定理及三角形面积公式
10．C
【解析】
试题分析：由题意：，．则图为C
考点：指数型和对数型函数的性质．
11．C．
【解析】
试题分析：A：，可能的位置关系为：相交，异面，平行，故A错误；B：根据线面平行的性质以及线面垂直的判定可知B错误；C：根据线面垂直的性质可知C正确；D：或，故D错误，故选C．
考点：空间中线面的位置关系判定及其性质．
12．C
【解析】
试题分析：∵满足，且x时，，
分别作出函数与的图像如图：
由图象可知与的图象的交点个数为11个．故选：C．
考点： 1.抽象函数；2.函数图象.
13．80
【解析】
试题分析： 由分层抽样的定义可得，应抽二年级的学生人数为（人）．故答案为80．
考点：分层抽样．
14．18
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为18
考点：均值不等式求最值
15．
【解析】
试题分析：画出可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，当其经过点时，取到最大值为．
考点：简单的线性规划的应用．
16．①②④
【解析】
试题分析：当是函数单调递增，此时；当时函数单调递减，此时,故函数的值域为，所以命题正确。，显然在[0，1]上是增函数，故命题正确。
由命题函数的值域为,要是命题④成立，需有解得，故命题④正确。因此答案为①②④
考点：函数的单调性及值域问题存在性问题求参数
17．（1）（2）当时，函数取得最小值．
【解析】
试题分析：（1）利用向量的数量积运算公式及二倍角的三角函数、辅助角公式整理可得，则周期易得；（2）讨论函数在的单调性，即可求出的最小值以及取得最小值时的值
试题解析：（1） ．
（1）由最小正周期公式得：．
（2），则，令，则，
从而在单调递减，在单调递增，即当时，函数取得最小值．
考点：三角函数的图像和性质
18．（1） ，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先根据a1=-1和d，求出，再根据是等比数列，求出数列{an}的通项公式，再由等比数列的前n项和公式即可求得；
（2）根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进行求和即可．
试题解析：（1）有题意可得又因为 2分
4分
（2） 6分
10分
考点：1.等比数列；2.数列求和．
19．
（1）略 （2）略 （3）
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.
依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，
故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.
(3)解：设点F的坐标为则
从而所以
由条件知，即 解得 。
点F的坐标为 且
,即，故是二面角的平面角.
∵且
,所以，二面角C—PC—D的大小为
【解析】本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定，线面垂直的判定，以及二面角的求解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。
20．（Ⅰ）0.3，见解析（Ⅱ）P（A）=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率．
（Ⅱ）分别求出[60，70）分数段的人数，[70，80）分数段的人数．再利用古典概型求解．
解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率
1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．
（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60=9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；
∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；
设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，
则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，
∴P（A）=
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
21．（1）；（2）当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利； （3）当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．
【解析】
试题分析：（1）根据利润销售收入总成本，且总成本为即可求得利润函数的解析式． （2）使分段函数中各段均大于0，再将两结果取并集． （3）分段函数中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．
试题解析：（1）由题意得．
∴．
（2）①当时，由得： ，解得．
所以：．
②当时，由解得．所以：．
综上得当时有．
所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．
（3）当时，∵函数递减，∴（万元）．
当时，函数，
当时，有最大值为54（万元）．
所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．
考点：1函数解析式；2分段函数求最值．
22．（1）x2＋y2＝4．（2）k＝0．（3）存在圆或，使得圆经过点．
【解析】
试题分析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程；（2）由，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0；（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由，得
，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P经过点M（2，0）．
试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．因为圆C经过点A（－2，0），B（0，2），
所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，
所以圆C的方程是x2＋y2＝4．
（2）因为
且与的夹角为∠POQ，
所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的
距离d＝1，又d＝，
所以k＝0．
（联立直线与圆的方程求解酌情给分）
（3） （ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由，
消去整理，得，
由△，得或．
设，
则有 ①
由①得， ②
， ③
若存在以为直径的圆经过点，则，所以，
因此，
即，
则，所以，，
满足题意．
此时以为直径的圆的方程为，
即，
亦即．
综上，在以为直径的所有圆中，存在圆：或，
使得圆经过点．
考点：1．圆的方程；2．向量的坐标运算；3．直线与圆锥曲线的综合问题
微信/支付宝扫码支付