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杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研
数学文 2016.04.12
一、填空题
1.函数的定义域为 .
2.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a= .
3.计算= .
4.若向量、满足，且与的夹角为，则 .
5.若复数，其中i是虚数单位，则复数的虚部为 .
6.的展开式中，常数项为 .
7.已知的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是 .
8.已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前7项之和为 .
9.已知变量满足，则的最大值为 .
10.已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如右图所示，则其左视图的面积是 .
11.已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则 .
12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且
教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）
13.若关于x的方程在内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为 .
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .
二、选择题
15.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（ ）
A. B. C. D.
16.已知直线l的倾斜角为，斜率为k，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
17.设x,y,z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
18.空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于
A、2 B.3 C.4 D.5
三、解答题
19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱中，，D是棱上的动点.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10
(米),,.设，四边形OAPB的面积为S.
(1)将S表示为的函数，并写出自变量的取值范围；
(2)求出S的最大值，并指出此时所对应的值.
21.已知函数，其中.
(1)当a＝－时，求证：函数是偶函数；
(2)已知a>0，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值.
22、已知数列和满足：，,且对一切,均有.
(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)设，记数列的前n项和为，求正整数k，使得对任意，均有
23.已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于、，且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
(3)求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.
19、（1）证明：因为直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，所以，CC1⊥BC，
又底面ABC是直角三角形，且AC＝BC＝1，所以AC⊥BC，
又＝C，所以，BC⊥平面ACC1A1，所以，BC⊥DC1
（2）＝
20（1）在三角POB中，由正弦定理，得：
，得OB＝10（）
所以，S＝＝，
（2）S＝＝
＝＝
所以，
21、（1）当a＝－时，，定义域为R，
＝＝＝，偶函数。
22、（1）证明：由，两边除以，得
，即，
所以，数列为等差数列
，所以，
23、（1），所以，
又右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，所以，
因为，解得：，
所以，椭圆方程为：＝1
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