湖南省岳阳市2016届高三教学质量检测理科数学试题(二)(含答案)（2016年4月）.doc

岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)‎ 数 学（理科）‎ 命题人 云溪区一中 许云章 满分：150分 时量：120分钟 说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知全集,,则=( )‎ A.{2,3}　　 B.{5,6} C.{1,4,5,6} D.{1,2,3,4}‎ ‎2．已知,则“”是“复数为虚数单位)为纯虚数”的( )‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．阅读下边程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ ‎ A. 　　 B. 　　 C.　 　　D. ‎ ‎4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）.‎ A. 　　　B. 　　 C. D.‎ 开始 开始 否 输出 是 结束 ‎（正视图）‎ ‎（侧视图）‎ ‎（俯视图）‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 第4题图 ‎ ‎ 第3题图 第3题图 ‎5.已知函数的图象关于点对称，则的值可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知△的三个内角所对的边分别为,如果满足条件:,则（ ）‎ A B C D.‎ ‎7．若二项式的展开式中各项系数的和是,则展开式中的常数项为(　 )‎ ‎ A. 　　 B. 　 C. 　 D. ‎ ‎8．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是 ( )‎ A B C D ‎ ‎9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为， 底面边长为，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在上的连续函数对任意的都有,且其导函数 满足,则当时,有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13．若向量=（1,1），＝（-1,2），则·等于_____________.‎ ‎14．计算： ____________ .‎ ‎15．抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为，则的期望____ .‎ ‎16．直线与抛物线、圆从左至右的交点依次为，则的值为 ____________ . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前项和为，且满足.‎ ‎（I）求数列，的通项公式；‎ ‎（II）令，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎ 18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，侧棱A‎1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，‎ AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明：B‎1C1⊥CE；‎ 第18题图 ‎(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值；‎ ‎(Ⅲ)设点在线段C1E上，且直线AM与平面ADD‎1A1所成角的正弦值为 ‎，求线段的长.‎ 图(5)‎ 图(4)‎ ‎19．（本题满分12分）某公司对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据及散点图：‎ 利润(元/kg)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 年销量（kg）‎ ‎1150‎ ‎643‎ ‎424‎ ‎262‎ ‎165‎ ‎86‎ ‎14.1‎ ‎12.9‎ ‎12.1‎ ‎11.1‎ ‎10.2‎ ‎8.9‎ 第19题图2‎ 第19题图1‎ 其中 ， ，，，‎ ‎ ，‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断，与、与哪一对具有较强线性相关性？(给出判断即可，不必说明理由)‎ ‎（Ⅱ）根据(Ⅰ)的判断结果及数据，建立关于的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字)‎ ‎（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知，若、在动点的轨迹上,且，求实数的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分） ‎ 已知函数，函数在处的切线与直线垂直.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】‎ 在中，，过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ 第22题图 ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.‎ ‎24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）存在，使得，求实数的取值范围.‎ 岳阳市2016届高三教学质量检测试题(二)‎ 数 学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B B D D B A A C C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13． _1__ 14． ___ 15． _7 。 16． _16 ‎ ‎17. ‎ ‎ 又，故----------4分 ‎ ‎ ‎ ‎18. 方法一　如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0). ------------3分 ‎(1)证明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0， ‎ 所以B‎1C1⊥CE. ------------5分 ‎(2)解　＝(1，－2，－1). ‎ 设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，‎ 则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1). ------------6分 由(1)知，B‎1C1⊥CE，又CC1⊥B‎1C1，可得B‎1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量. ------------7分 于是cos〈m，〉＝＝＝－，------------8分 从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.----9分 ‎(3)解　＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ).‎ 可取＝(0,0,2)为平面ADD‎1A1的一个法向量. ------------10分 设θ为直线AM与平面ADD‎1A1所成的角，则 sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，------------11分 于是＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.------------12分 ‎ 方法二　(1)证明　因为侧棱CC1⊥底面A1B‎1C1D1，B‎1C1⊂平面A1B‎1C1D1，所以CC1⊥B‎1C1.‎ 经计算可得B1E＝，B‎1C1＝，EC1＝，‎ 从而B1E2＝B‎1C＋EC，‎ 所以在△B1EC1中，B‎1C1⊥C1E，------------2分 又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B‎1C1⊥平面CC1E，‎ 又CE⊂平面CC1E，故B‎1C1⊥CE. ------------4分 ‎(2)解　过B1作B‎1G⊥CE于点G，连接C‎1G.‎ 由(1)知，B‎1C1⊥CE，故CE⊥平面B‎1C‎1G，得CE⊥C‎1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角. ------------6分 在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C‎1G＝.‎ 在Rt△B‎1C‎1G中，B‎1G＝，所以sin ∠B1GC1＝，‎ 即二面角B1－CE－C1的正弦值为.------------8分 ‎(3)解　连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD‎1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD‎1A1所成的角.‎ 设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有 MH＝x，AH＝x.‎ 在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，‎ 得EH＝MH＝x. ------------10分 在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，‎ 由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，‎ 得x2＝1＋x2＋x，整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝(负值舍去).‎ 所以线段AM的长为.------------12分 ‎19.解：（Ⅰ）由散点图知，与具有较强线性相关性，且-------2分 ‎（Ⅱ）--------------4分 ‎--------------5分 ‎--------------6分 y关于x的回归方程为：--------------7分 ‎（Ⅲ）年利润--------------9分 由 得 --------------11分 所以定价为何值时，年利润的预报值最大--------------12分 ‎20. 解：（Ⅰ）由已知可得： ， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 所求的椭圆方程为 . --------------4分 ‎(Ⅱ)方法一：‎ ‎ 由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 ‎ (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①--------------5分 由判别式 ，得. -------------6分 再设M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，则一方面有 ‎，得 ‎ ‎ 另一方面有 ， ② -------------8分 将代入②式并消去 x 2可得 ‎，由前面知， ‎ ‎∴ ，解得 . --------------11分 又当直线m的斜率不存在时，不难验证：,‎ 所以 为所求。---------------------12分 方法二:同上得 ‎ ‎ 设点M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ) ‎ 则有 由上式消去α并整理得 , 由于 ‎ ‎∴ ， 解得为所求. ‎ 方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1.‎ 进而推得的取值范围为。‎ ‎21. 解：（Ⅰ）∵，∴. ‎ ‎ ∵与直线垂直，∴，∴ . ..........2分 ‎ ‎（Ⅱ）‎ 由题知在上有解，‎ 设，则，所以只需故b的取值范围是. ..........6分 ‎（Ⅲ）‎ 令 得 由题 ‎，则 .........8分 ‎，所以令，‎ 又，所以， 所以 ‎ 整理有，解得 ........10分 ‎，所以在单调递减 ‎ 故的最小值是 ..........12分 ‎ ‎22．【解析】（1）∵，∴，∴，‎ 又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎23.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入曲线C的方程得．‎ 设点A，B对应的参数分别为，则，，‎ 所以． ……………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，‎ 所以点P在直线l上，中点M对应参数为，‎ 由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离．……(10分）‎ ‎24.解：（Ⅰ）当时，‎ ‎，‎ ‎，即，解得，‎ 又，；‎ 当时，，‎ ‎，即，解得，又，‎ ‎；‎ 当时，，‎ ‎，即，解得，又，‎ ‎．‎ 综上，不等式的解集为． ……………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎，使得，‎ ‎，整理得，‎ 解得．‎ 因此实数m的取值范围是． ………………………………………………（10分）‎