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数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.设命题任意，都有，则非为（ ）
A．存在，都有 B．存在，都有
C．任意，都有 D．任意，都有
4.若点的支教坐标为，则它的极坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，且，则实数（ ）
A．1 B． 6 C． 2或1 D．2
6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.（原创）如图，是圆的直径，是圆内接四边形，（ ）
A． B． C． D．
8.设等比数列的公比，前项和为，则（ ）
A．5 B．7 C． 8 D．15
9.阅读如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
10.函数相邻两个对称轴的距离为，以下哪个区间是函数的单调减区间（ ）
A． B． C． D．
12.（原创）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.（原创）若，则 .
14.（原创）若实数满足不等式，则的取值范围为 .
15.（原创）若直线垂直平分圆的一条弦，则 .
16.若数列满足，若数列的最小项为1，则的值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知数列满足：，的前项和为.
（1）求和；
（2）求数列前项和为.
18（原创）（本小题满分12分）在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，按照以往考试的统计，考生甲，乙的选做各题的概率如下表所示.
第22题
第23题
第24题
甲
乙
0
（1）求甲，乙两人都选做第23题的概率；
（2）求甲，乙两人选做不同试题的概率.
19.（原创）（本小题满分12分）在中，角对边分别是，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求.
20.（原创）（（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，其上顶点为，直线与椭圆的交点为，点关于的对称点为.
（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）设点为原点，若直线恰好平分线段，求椭圆的离心率.
21.（原创）（本小题满分12分）已知函数.
（1）若，求证：在上为增函数；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，设是弦延长线上一点，且，过作圆的切线于，若为线段的中点，连结交圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求证：
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以该支教坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为.
（1）求直线、圆的普通方程；
（2）设直线和圆的交点为，求弦的长.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若实数满足，求的最小值.
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数学答案（文科）
一、选择题:CABCD CDBCB AD
二、填空题：13. 3 14. 15. 1 16.
三、解答题
则甲，乙选做同一道的概率为，甲乙选做不同试题的概率为.
19.⑴
；
⑵①，利用余弦定理得：
即②，联立①②，解得：.
20.⑴（法一）：
（法二）
椭圆的方程为；
⑵（法一）直线的方程为：，代入椭圆可得：，从而可得，则点为，则直线的方程为，线段的中点为，则有
（法二）：设点，则，点，，则直线的方程为
线段的中点为，则有
点代入椭圆方程可得.
21.易知：
⑴，当且仅当时，取等号，则在上为增函数；
⑵，注意到
①当时，则，则在上为增函数；显然适合题意；
②当时，则，则，当且仅当时，取等号，则在上为增函数；显然适合题意；
③当，则，有两个实根，且，则在上增函数，在上减函数；，，显然不适合题意，综上：.
22.证明：⑴设，则，易得：；
⑵，点为中点为直径，为切线.
23.⑴的普通方程为，圆；
⑵圆心为到直线的距离为
24.⑴，则
⑵，当且仅当时，取等号，的最小值为8.
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