高三年级八校联考 文科数学 试卷（2016.4）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至8页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题纸上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A, B互斥, 那么
·棱柱的体积公式V = Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么
·球的体积公式 其中R表示球的半径.
一、 选择题（共8小题，每题5分）
1. 是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 在盒酸奶中，有盒已经过了保质期，从中任取盒，取到的酸奶中有已过保质期
的概率为（ ）
A． B． C． D．
3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4. “”是“直线与圆相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直于．
则下面结论中正确的有（ ）个
① ∽
②
③
④
A.1 B.2 C.3 D.4
6． 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，
得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A．在上是增函数 B．其图象关于直线对称
C．函数是奇函数 D．当时，函数的值域是
7．定义在上的函数其导函数是，且，当时，，设，则（ ）
A． B． C． D．
8. 对任意实数定义运算“”：设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、 填空题（共6小题，每题5分）
9．设全集，集合，则
10．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为
第10题图 第11题图
11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
12. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点. 若双曲线的离心率为, 的面积为， 则
抛物线的焦点坐标为
13.如图，在中，，，，,若则= ．
14. 已知等差数列的公差，且，， 成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为
三、解答题
15.研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
如何安排这两种产品的搭载件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
16. 已知函数
（1） 求函数的最小正周期；
（2） 在中，若=，边，求边的长及的值.
17.如图：在三棱锥中，是直角三角形，，，点、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）求二面角的正切值．
18. 定义：称为个正数的“均倒数”．已知数列的
前项的“均倒数”为，
（1）求的通项公式；
（2）设，试判断并说明数列的单调性；
（3）求数列的前n项和．
19.已知椭圆经过点，离心率为，点为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过左焦点任作一直线，交椭圆于两点．求的取值范围；
20.已知函数，且
（1）试用含的代数式表示；
（2）求 的单调区间；
（3）当时，设在处取得极值，记点
证明:线段与曲线 存在异于、的公共点．
高三年级八校联考 文科数学 答题纸（2016.4）
二、 填空题
9． 10． 11.
12． 13． 14.
三、 解答题
第15题
第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
高三年级八校联考 文科数学 答案（2016.4）
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
C
D
C
A
二、 填空题
9． 10． 40 11. 80
12. 13. ﹣ 14. 4
三、 解答题
15.解析：设搭载A产品 件，B产品件，
则总预计收益
由题意知，且，
由此作出可行域如图所示，作出直线并平移，由图象知，
当直线经过M点时，能取到最大值，
由 解得且满足，
即是最优解，
所以（万元），
答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．
16. （1）
所以最小正周期为
（2） ，
中，由余弦定理得，
即
由正弦定理可得
17.（1） 连结BD．在中，.
∵，点为AC的中点，∴．
又∵即BD为PD在平面ABC内的射影，∴．
∵分别为的中点,∴,∴． ( 3分)
（2）∵∴．
连结交于点，∵，,∴，
∴为直线与平面所成的角，.
.∵∴，，又∵，
∴.∵，∴，
∴在Rt△中，．
（3）过点作于点F，连结，∵
∴即BM为EM在平面PBC内的射影，
∴∴为二面角的平面角．
∵中，,∴．
18.试题解析：（1）根据题意可得数列的前项和为：，当时，，且适合上式，因此；
（2）由（1）可得，由于，当时恒成立，因此时，，即是递减数列；
（3）
．
19.解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，
即有椭圆方程为+=1；
（Ⅱ）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），
•=4﹣=；
当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）
=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2
==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，
综上可得，•的取值范围是；
20. 解：（1）依题意得 ，由 得
（2）由（1）得 ，
故 ，令 ，则 或
①当 时， ，
可得函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
②当 时， ，此时 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为；
③当 时， ，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为
（3）当 时， ， ，。
由（2）得 的单调增区间为 和，单调减区间为 ，
函数 在 处取得极值，故
直线的方程为
由 得
令 ，易得
的图像在 内是一条连续不断的曲线，
故 在 内存在零点 ，这表明线段与曲线 有异于的公共点
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