高三年级八校联考 理科数学 试卷（2016.4）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上）
1．复数的共轭复数等于（ ）
A． B． C． D．
2． 若，且，则的最小值等于（ ）
A．0 B．3 C．1 D．－1
3.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是
A．7203 B．7500
C．7800 D．7406
4．设，则“”是“且”的（ ）
A．.充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5． 的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在等差数列中，，且，则前项和中最大的是（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直于实轴的弦长为,则双曲线的离心率等于
A．2 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择性试题共110分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）
9．设集合，，则
10．已知直线切⊙于点，是⊙的一条割线，如图所
示有，若，
则
11．在中，内角所对的边分别是. 若，，则的面积是
12．直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于
13．已知棱长为的正四面体的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
14．在边长为1的等边中，为上一点，且，为上一点，
且满足，则取最小值时，________．
三．解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸上）
15（本小题满分13分）
已知函数.
(I)求的最小正周期和最大值；
(II)讨论在上的单调性.
16（本小题满分13分）
某市两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望.
17．（本小题满分13分）
在四棱锥中，底面是直角梯形，//,
，平面平面。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（3）在棱上是否存在点使得//平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
第17题图
18．（本小题满分13分）
设数列的前项和为．已知．
(I)求的通项公式；
(II)若数列满足，求的前项和．
19. （本小题满分14分）
已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.
20. （本小题满分14分）
设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
高三年级八校联考 理科数学 答题纸（2016.4）
二．填空题
9 10. 11.
12. 13. 14..
三．解答题
15(I)
（2）
16（1）
（2）
17.（！）
（2）
（3）
18（！）
（2）
19.（1）
（2）
20.（1）
（2）
高三年级八校联考 理科数学 答案（2016.4）
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
B
D
A
A
D
二．填空题
9 [1，3 ） 10. 11.
12. 13. 14.
三．解答题
15(I)
因此的最小正周期为，最大值为
(II)当时，，
从而当时，即时，单调递增.
当时，即时，单调递减.
综上可知，在上单调递增；在上单调递减.
16(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取的概率为.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为.
(2)根据题意，的可能取值为1，2,3
.
所以的分布列为
1
2
3
因此，的数学期望为
.
17.解：（1）证明：因为，
所以
因为平面平面，
平面平面，
平，
所以平面。
（2）如图，取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，所以平面。
以为原点，所在直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系。
不妨设。由得，
。
所以，
设平面的法向量为.
因为，所以
令，则。所以
。
取平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面所成的锐二面角的大小为
（3）在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时。
取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN=AB。
因为AB=2CD，所以ＡＮ＝CD，
因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN∥AD。
因为MN∩CN=N，ＰＡ∩ＡＤ＝Ａ，所以平面ＭＮＣ∥平面ＰＡＤ。)
因为ＣＭ平面ＭＮＣ，所以ＣＭ∥平面ＰＡＤ。
方法2设
面PAD的法向量为
所以当时，PB上存在点M使//平面
18. (I)由知，当时，，所以，即；又当时，，所以有．
(II)由知，当，；当，，由得
①
②
①-②得：，
所以有，经检验时也符合，
故对，均有．
19.（I）由题设解得
，椭圆的方程为.
（II）由题设，以为直径的圆的方程为，圆心到直线的距离，
由得.(*)
.设，
，由得
，
，.
.由得
，解得，满足(*).直线的方程为或.
20.（I）的定义域为
由得
=
，当时，；
当时，．故的单调递减区间是，递增区间是．
（II）由（I）知时显然不满足题意；
当时，设函数
因为，
当时，在，，单调递增，
故在上不存在两个极值点；
当时，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数的最小值为，
函数在上有两个极值点当且仅当解得，
即函数在上有两个极值点时
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