雅安中学2015—2016学年高二下期4月月考
数学试题（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题：60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1. 已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.若复数z= i（3﹣2i）（i是虚数单位），则 = （ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则 （ ）
A． b=—2，c=3 B．b=﹣2，c=2 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1
4.若，则实数m的值为（ ）
A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0
5.下列说法正确的是 （ ）
A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤
6.设f(x)存在导函数且满足，则曲线y=f(x)上的点处的切线的斜率为 （ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7. 函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数在（a，b）内的图象如图所示，则函数
f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8.函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+4的单调递减区间是（ ）
A． （﹣3，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣1，3） D．（3，+∞）
9.设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于（ ）
A．2 B. C．— D．－2
10曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
12.已知函数，给出下列结论：
①的单调递减区间；
②当时，直线y=k与y=f(x)的图象有两个不同交点；
③函数y=f(x)的图象与的图象没有公共点.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①
C．①②
D．②③
第Ⅱ卷（非选择题：90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知复数 z=（3+i）2（i为虚数单位），则 |z| = ．
14.函数 f(x)=x﹣lnx 的单调减区间为 ．
15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：）随时间t（单位：h）的变化关系为，则经过______h后池水中药品浓度达到最大.
16若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列命题正确的是___ （写出所有正确命题的编号）．
①直线在点处“切过”曲线
②直线在点处“切过”曲线
③直线在点处“切过”曲线
④直线在点入“切过”曲线
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
计算：（1） (2)
18.（本小题满分12分）已知复数 z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i；（4）表示复数z对应的点在第四象限．
19. （本小题满分12分）在极坐标系下，已知圆O：和直线
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
20．（本小题12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理总成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．
（Ⅰ）当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
21．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；
（Ⅲ）如果函数有两个不同的极值点x1，x2，证明：
高二年级下期4月月考数学（文科）答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
D
C
A
D
C
D
B
C
A
二、填空题13 10 14 （0,1） 15 2 16 ③④、
17．（1）47-39i （2） 1-38i
18
（1）由可得m=1；（3分）
（2）由可得m=0；（6分）
（3）由可得m=2；（9分）
（4）由题意，解得即﹣3＜m＜0（12分）
19.
20
21.(1)当a=3时，f′（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣1）（x﹣2），
当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），
单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）；
(2)设点A（t，﹣t3+t2﹣2t）是函数f（x）图象上的切点，
则过点A的切线斜率k=﹣t2+at﹣2，
所以过点A的切线方程为y+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（x﹣t），
因为点（0，﹣）在该切线上，
所以﹣+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（0﹣t），
即t3﹣at2+=0，
若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程t3﹣at2+=0三个不同的实数根，
令g（t）=t3﹣at2+=0，
则函数y=g（t）的图象与x轴有三个不同的交点，
g′（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或t=，
因为g（0）=，g（）=﹣a3+，
所以令g（）=﹣a3+＜0，即a＞2，
所以实数a的取值范围是（2，+∞）．
22．解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，
∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，
∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，
∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），
∴1=2×0+b，解得b=1；
（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，
∴a≤ex﹣x恒成立．
设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．
当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
减函数
极小值
增函数
∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，
∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，
∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），
∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2
当时，方程（*）不成立
则，令，则
由p′（x）=0得：
当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：
x
p（x）
﹣
﹣
0
+
p′（x）
单调递减
单调递减
极小值
单调递增
∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；
当时，方程（*）若有两个解，则
所以，．
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