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汕头市金山中学2015-2016学年度第二学期期中考试
高二文科数学 试题卷 命题人：张怡涵
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2、已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A.
B.
C．
D．
4、已知曲线在点处切线的斜率为8，（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、圆与的位置关系为
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
6、设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（ ）
A． B．
C． D．
7、在△ABC中,AB=2,AC=3,则BC= ( ）
A． B． C． D．
8、已知点在球O的球面上,,．球心O到平面的距离为1，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
10、已知F是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
11、已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若，下恒成立，则不等式的解集为
A． B． C． D．
12、直线分别与曲线，交于A，B，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．
14、已知函数在x＝1处有极值10．则________．
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2sinCcosB=2sinA+sinB，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为_______．
16、如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、某产品的广告费用支出与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
/百万元
2
4
5
6
8
/百万元
30
40
60
50
70
（1）求与之间的回归直线方程；
（参考数据：22+42+52+62+82=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）
（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？
附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值
18、已知是各项为正数的等比数列，是等差数列，且
（1）求和的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和．
19、如图，在斜三棱柱
中，O是AC的中点，A1O⊥平面， ，．
（1）求证： AC1⊥平面A1BC；
（2）若AA1=2，求点C到平面的距离。
20、已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．
21、已知函数，为的导函数。
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若对一切的实数，有成立，求的取值范围；
（3）当时，在曲线上是否存在两点，使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由．
汕头市金山中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二文科数学答案
一、 选择题
ABADC CAACD BD
二、 填空题
13、 14、-7 15、 16、
三、解答题
17、解：（1）==5，==50．
=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，
=22+42+52+62+82=145．
∴==6.5，=50﹣6.5×5=17.5，
所以回归直线方程为=6.5x+17.5．
（2）当x=10时，=6.5×10+17.5=82.5．
答：当广告费用支出为1千万元时，销售额约是82.5百万元．
18、解：（1）设的公比为q，的公差为d，由题意，
由已知，有
消去d得解得，
所以的通项公式为，
的通项公式为．
（2）由（1）有 ，设的前n项和为 ，则
两式相减得
所以
19、解：（1）因为A1O⊥平面，所以．
又，所以，所以． 2分
因为，所以四边形是菱形，所以．
所以平面． 6分
（2）设三棱锥的高为h．
由（1）可知，三棱锥的高为．
因为，即．
在△A1AB中，AB＝A1B＝2，AA1＝2，所以S△A1AB＝． 10分
在△A1BC中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90°，所以S△A1BC＝BC·A1C＝2．
所以． 12分
20、解：（1）由题意得 3分
所求椭圆C的方程为． 4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点 5分
将直线方程代入椭圆
整理得： 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且 7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标 9分
直线 的斜率为
11分
将代入上式得：
所以为定值
21、解：（1）当时，的减区间为；
当时，的减区间为； 当时，无减区间。 4分
（2）由条件得：，
当时，得，即恒成立，因为
（当时等号成立)，所以，即; 6分
当时，得，即恒成立，因为，（当时等号成立)，所以，即;
当时，;
综上所述，的取值范围是 9分
（3）设切线与直线的公共点为，当时，，
则，因此以点为切点的切线方程为．
因为点在切线上，所以，即．
同理可得方程． 11分
设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点．
因为,
当或时，单调递增，当时，递减。
因此，在处取得极大值，在处取得极小值
若要满足至少有两个不同的零点，则需满足，解得
故存在，且交点纵坐标的最大值为10．
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