东华高级中学2015-2016学年下学期前段考
高二数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参考公式：正弦定理： （为外接圆半径）；
余弦定理：,,；
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题 ，，那么命题为（ ）
A． B．
C． D．
3．表示椭圆的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．在△ABC中，若，则是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别为．若角成等差数列，边成等比数列，则的值为
A． B． C． D．
7.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A. B． C． D．
8. 若实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9． 已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知，（、，且对任意、都有：
①；②．
给出以下三个结论：（1）；（2）；（3）．
其中正确的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．三角形一边长为，它对的角为，另两边之比为，则此三角形面积为_ ___．
14．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________；
15．已知为椭圆的两个焦点，在椭圆上，且的面积为，则 ．
16.在数列中，若（，为常数），则称数列为“等方差数列”。下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②是等方差数列；③若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；④若是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列。其中正确命题的序号是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的值；
（2）若，求及的值．
18. （本小题满分分）
已知各项不为零的数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
19. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点；
（1）
（2）求与平面所成的角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知函数在处有极值．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并求出单调区间．
21. （本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆方程,并求当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
22. （本小题满分12分）
已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，都有解，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意，恒成立．
东华高级中学2015-2016学年下学期前段考
高二理科数学试题参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
C
A
A
B
B
C
D
A
二、填空题：每小题5分，满分20分
13． 14．1 15． 16． ①②③④
三、解答题：
17.解析：（1）∵，利用正弦定理可得：，
∴ 3分
∴ 5分
（2）∵，∴，
由余弦定理可得： 化为
解得 9分
10分
18. 解析：（1）当时，
1分
当时，………①
………②
① -②得
数列是首项为2，公比为2的等比数列 5分
（2） 8分
两式相减得 12分
19. 解析：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系。
依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}．
∴·=－+0=0，∴⊥， ∴ 5分
（2）解：依题意得，C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）、M（，2）
∴ ={0，1，2，}，={，0}
又⊥面
∴为平面的法向量
∴cos==
∴ 与平面所成的角的余弦值为 12分
20. 解析：（1），
则，∴． 5分
（2）的定义域为，
，
令，则或-1（舍去） 7分
∴当时，，递减，
当时，，递增，
∴在上递减，在上递增，
递减区间是，递增区间是． 12分
21.解析：（1）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为 2分
因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到
所以
所以 5分
（2）设直线的方程为：，则
由 得，．
设，，则，． 7分
所以，，，
当时，．
由，得 ．当时，
从而，当时，取得最大值． 12分
22. 解析：（1）由得，，所以曲线在点
处的切线斜率为，，曲线切线方程为
，即． 3分
（2）由得，令，
，，所以在上单调递减，又当趋向于时，
趋向于正无穷大，故，即． 7分
（3）由，得，
令，所以，，
因此，对任意，等价于，
由，，得，，
因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，
所以的最大值为，故，
设，
，所以时，，单调递增，，
故时，，即，
所以．
因此，对任意，恒成立． 12分
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