2016年静安区高考数学(文科)二模卷
(试卷满分150分 考试时间120分钟)
考生注意：
本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.已知全集，集合，则集合的补集 .
2.指数方程的解是 .
3.已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .
4.函数的递增区间为 .
5.算法流程图如图所示，则输出的值是 .
( 第5题图 )
6.抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是 .
7.设函数，则不等式的解集为 .
8.关于q 的函数的最大值记为，则的解析式为 .
9.如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于 .
( 第9题图 )
10.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0, -4)、B(0, -2) 两点，
则圆C的方程为 .
11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则 .
12.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .
13.掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)(i为虚数单位)为实数的概率为 .
14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.的展开式中的系数为 ( )
A. 1 B.4 C.6 D.12
16.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A 的弧度数为 ( )
A. B. C. D.
17.若函数为奇函数，且g(x)= f(x)＋2，已知 f(1) =1，则g (－1)的值为( )
A.1 B.－1 C. 2 D.－2
18.已知实数满足则的最大值为 ( )
A. 17 B. 15 C. 9 D. 5
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF(底面正六边形ABCDEF的中心为球心).
求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积.
( 第19题图 )
20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知分别是椭圆(其中)的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行(将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过).
(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？
(2)海中有一处景点(设点在平面内，，且)游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.
( 第21题图 )
22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分.
已知函数，若在区间内有且只有一个实数()，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.
(1)判断函数在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；
(2)已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点；
(3)若函数在区间内具有唯一零点，求实数m的取值范围.
23.(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分8分.
已知各项为正的数列是等比数列，且，；数列满足：对于任意，有=.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)在数列的任意相邻两项与之间插入个()后，得到一个新的数列. 求数列的前2016项之和.
2016年静安区高考数学（文科）二模卷
一、填空题
1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.
【参考答案】
【试题分析】，所以,故答案为.
2. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/
理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.
【参考答案】
【试题分析】令，则有，所以或（舍去），
即，故答案为.
3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.
【参考答案】12
【试题分析】因为数列的公比，故数列存在极限，
则有，故答案为12.
4. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.
【参考答案】
【试题分析】因为的递增区间为，所以
又因为，所以，故答案为.
5. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.
【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.
【参考答案】5
【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，满足判断条件，输出k，故答案为5.
6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.
【参考答案】
【试题分析】因为，则抛物线的准线方程为
，因为抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离相等，所以设该点的横坐标为，则有，故答案为.
7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.
【参考答案】
【试题分析】即，所以，故答案为.
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.
【参考答案】
【试题分析】 ，
因为，所以当时，；
当，，所以，
故答案为.
9.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.
【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图；图形与几何/简单几何体的研究/柱体，球.
【参考答案】
【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为，圆柱的高，则几何体的体积，故答案为.
10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程.
【参考答案】
【试题分析】设圆的标准方程为，因为点满足圆的方程，则有①，②，由①－②得，，又因为圆心在直线上，故，则 ，把
代入得，所以圆的标准方程为，故答案为.
11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.
【参考答案】12
【试题分析】如图，取BC中点D，联结AD,则,又因为,所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以,所以,故答案为12.
第11题图 apto6
12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域.
【参考答案】
【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图()，直线恒过的顶点A,要使得其平分的面积，则其过线段AB的中点D,由得,,所以,代入得，故答案为.
第12题图 apto7
13.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率；
数与运算/复数初步/复数的四则运算.
【参考答案】
【试题分析】复数为实数，则，掷两颗骰子，其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件“复数
为实数”的概率为.
14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;
函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.
【参考答案】9
【试题分析】令，在同一坐标系下作出两函数的图像：
①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；
第14题图(1) apto8
②如图(2),,令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需.
第14题图(2) apto9
综上，，故答案为9.
二、选择题
15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.
【正确选项】C
【试题分析】展开式的第项为，所以含的为第3项，其系数为,故答案为C.
16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.
【正确选项】D
【试题分析】因为的面积,所以,.
17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知
识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;
【正确选项】B
【试题分析】因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以，,故答案为B.
18.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.
【正确选项】A
【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其中直线将其分为的两部分，联立得,联立得,在上，直线在点有最大值，此时，在上，直线在点有最大值，此时，所以的最大值为17，故答案为A.
第18题图 apto10
三、解答题
19.（本题满分12分）
【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.
【参考答案】 设底面中心为O，AF中点为M，连结PO、OM、PM、AO，
则PO⊥OM， …………2分
HEM62
第19题图
OM⊥AF，PM⊥AF，
∵OA＝OP＝2，∴OM＝，
∴.
∴. …………6分
. …………8分
∴. …………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
（2）运算能力/能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.
【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.
（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.
【参考答案】（1）抛物线的焦点为 ………1分
所以椭圆的左焦点为， ，………2分
又，得，解得（舍去），………4分
故椭圆C的方程为. ………6分
（2）直线的方程为． …………………7分
联立方程组消去并整理得． ……………10分
设，，故． …………………11分
则 …………14分
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.
（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.
【知识内容】（1）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.
（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.
【参考答案】（1）由已知得：，直线的方程为， ………1分
设，由及图得， ………3分
直线的方程为，即， ………5分
由得即， ………6分
，即水上旅游线的长为．
游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间． ………8分
（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为. ………10分
由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为， ………12分
所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）． ……14分
解法2：设游轮在线段上的点处，
则，， ………10分
，
，
，， ………12分
时，
当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).
………14分
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.
（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质与图像.
（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.
（3）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.
【参考答案】（1）函数在定义域内不具有唯一零点, ………2分
因为当时,都有； ………4分
(2) 因为,所以, …………7分
的解集为；因为,所以在区间内有且只有一个实数,使得成立,因此在开区间内具有唯一零点. …………10分
(3) 函数在开区间内具有唯一零点，该二次函数的对称轴为．以下分-m与区间的位置关系进行讨论．
①当即时, 在开区间是增函数,只需解得 …………12分
② 当即时,若使函数在开区间内具有唯一零点，，所以分三种情形讨论：当时,符合题意；当时, 空集； 当时, 只需解得. …………14分
③当即时, 在区间是减函数,只需解得.
综上讨论，实数m的取值范围是或或． …………16分
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.
【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.
（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.
【参考答案】(1)由得， ………2分
………4分
（2），得. ………5分
当时，. ………8分
于是. ………10分
（3）设数列的第项是数列的第项，即.
当时，. ………12分
，，， ………14分
设表示数列的前n项之和.
则.
其中，.又，
则
=
=
=
因此，. ………18分
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