2016年黄浦区高考数学(文科)二模卷
考生注意：
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；
2.答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；
3.本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1.已知集合，集合.若，则实数 .
2.计算： .
3.函数的反函数 .
4.函数的最小正周期为 .
5.直线与直线的夹角大小为 (结果用反三角函数值表示).
6.已知菱形，若，，则向量在上的投影为 .
7.已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为，则其体积 .
( 第7题图 )
8.已知函数，若的定义域中的、满足，则 .
9.数列中，若，()，则数列的通项公式 .
10.在代数式的展开式中，常数等于 .
11.若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为 .
12.满足约束条件的目标函数的最大值是 .
13.有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的个小球上分别标上号码、和，现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 (结果用最简分数表示).
14.正整数、满足，若关于、的方程组有且只有一组解，则的最大值为 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.若(为虚数单位)是关于的实系数方程的一个复数根，则 ( )
A.， B.，
C.， D.，
17.若△的三条边，，满足，则△ ( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
18.已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有 ( )
A.个 B.个 C.个 D.个
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为.若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度(精确到).
( 第19题图 )
20.(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.
已知函数，其中、为非零实常数.
(1)若，的最大值为，求、的值.
(2)若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且.
21.(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.
已知函数，其中.
(1)证明：函数在上为增函数.
(2)证明：不存在负实数使得.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于双曲线：()，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.
(1)证明：直线上的点都在的外部.
(2)若点的坐标为，点在的内部或上，求的最小值.
(3)若过点，圆()在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列的通项公式为，其中，、.
(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.
(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有
，写出所有满足条件的的值.
(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.
2016年黄浦区高考数学（文科）二模卷
一、填空题
1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/集合与命题/子集
【参考答案】1
【试题分析】因为,根据集合元素的互异性有，即，故答案为1.
2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.
【参考答案】
【试题分析】，故答案为.
3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/指数函数与对数函数/反函数.
【参考答案】
【试题分析】函数（），令（），则，
所以.故答案为.
4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数的性质.
【参考答案】
【试题分析】，故函数的最小正周期.故答案为.
5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的夹角.
【参考答案】
【试题分析】设两直线的夹角为，直线与x轴、y轴的交点坐标为，因为直线与x轴平行，则直线与x轴的夹角为，所以直线与的夹角，于是，故答案为.
6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.
【参考答案】
【试题分析】如图所示，因为四边形是菱形，则.
因为,所以,在中，由余弦定理
,
则向量在上的投影为，故答案为.
HP1
第6题图
7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/柱体的体积.
【参考答案】
【试题分析】该多面体是一个底面边长为1的正六边形，
高为1的六棱柱.则底面六边形的面积,如图所示，
HP2
第7题图
在中，,,
由余弦定理,所以,,
则，故答案为.
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.
【参考答案】－3
【试题分析】函数的定义域需满足，即，，
，
则，所以是奇函数，在其定义域内有
又因为，则.
故答案为－3.
9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.
【参考答案】
【试题分析】因为，等式两边同时取对数有，则，又因为则数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，故答案为.
10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.
【参考答案】15
【试题分析】在代数式的展开式中常数项为，当时，即时，该项不含未知数x，则此时常数等于，故答案为15.
11.【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.
【参考答案】
【试题分析】椭圆上到焦点的距离最大和最小的点为椭圆长轴的两个端点，所以，所以,故答案为.
12.【测量目标】数学基本知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】方程与代数/不等式/简单的线性规划.
【参考答案】2
【试题分析】作出约束条件所表示的平面区域如图所示(阴影部分), 易知在点(-2，0)上取得最大值，此时，故答案为2.
apf2
第12题图
13.【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率.
【参考答案】
【试题分析】从9个小球中取出3个的取法有种，取出3个小球的颜色和号码均不相同的取法有,其概率为.
14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.
【参考答案】2016
【试题分析】令
,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，要使得关于的方程组有且只有一组解，则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有，由得，，又，所以，所以的最大值为2016，故答案为2016.
apf1
第14题图
二、选择题
15.【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/两条直线的平行关系与垂直关系.
【正确选项】B
【试题分析】如果两直线、平行，则，且，所以两直线、平行，必要性成立；反之，如果且，则两直线重合，充分性不成立，故“”是“两直线、平行”的必要非充分条件,故答案选B.
16.【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.
【知识内容】数与运算/复数初步/实系数一元二次方程的解.
【正确选项】D
【试题分析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以方程的另一个根为，由根与系数的关系得，，所以，故答案选D.
17.【测量目标】数学基本知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.
【正确选项】C
【试题分析】因为，所以可设
,，则，，所以三
角形是钝角三角形，故答案选C.(或由得亦可)
18.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.
【知识内容】方程与代数/集合与命题/集合及其表示.
【正确选项】C
【试题分析】因为,中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以所以中的元素个数至少有8个，故答案选C.
三、解答题
19.(本题满分12分)
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.
【参考答案】联结，，由题意，平面，因为凳面与地面平行，
所以就是与平面所成的角，即．……….. ……….. ……….. ………..2分
在等边三角形中，，得，……….. ……….. ……….. ……….. ………. ….4分
在直角三角形中，，……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………..6分
由，解得厘米．……….. ……….. ……….. ……….. ……….. …………..9分
三根细钢管的总长度厘米．……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………..12分
20.(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.
（2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.
【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.
（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.
【参考答案】（1）因为（其中，
），所以的最大值为．由，…………………………2分
及，…………………………………………………………………………4分
解得，或，．………………………………………………………………6分
（2）易知，当时，取得最大值或最小值，
于是，解得．……………………………………………………8分
于是，…………………………………………………………10分
当时，解得或（）．…………………………………………12分
因为，故所求的值为，，．……………………………………………………13分
21.(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.
（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的
正确性.
【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.
（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.
【参考答案】（1）任取，
．……………………………………3分
因为，，所以，，，，
于是，，得，即．
因此，函数在上为增函数．…………………………………………………………6分
（2）（反证法）若存在负实数（），使得，
即方程有负实数根．………………………………………………………………………8分
对于，当且时，因为，所以，………………10分
而．
因此，不存在负实数使得，得证．…………………………………………………13分
22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能能力/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.
（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.
【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/曲线方程的概念.
（2）图形与几何/曲线与方程/双曲线的标准方程和几何性质.
（3）图形与几何/曲线与方程/双曲线的标准方程和几何性质.
【参考答案】（1）设直线上点的坐标为，代入，
得，…………………………………………………………2分
对于，，因此，直线上的点都在的外部．……………………4分
（2）设点的坐标为，由题设．……………………………………………………6分
，由，得，…………8分
对于，有，于是，
因此，的最小值为． …………………………………………………………………………10分
（3）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．… 12分
将，代入双曲线方程，得（*），………………………………13分
又因为过点，所以，………………………………………………………………15分
将代入（*）式，得
．……………………………………………………………17分
由，解得．因此，的取值范围为．………………………………18分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识。
（2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.
（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略（最优化的解题方法），解决有关数学问题.
【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
【参考答案】（1）、（答案不唯一）．……………………………………………………4分
（2）由题设，．………………………………………………………………6分
当，时，均单调递增，不合题意，因此，．
当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．
由题设，有，．……………………………………………………………………8分
于是由及，可解得．
因此，的值为7，8，9，10，11．……………………………………………………………………10分
（3）因为，且，
所以………………………………………………………………12分
因为（、，），所以、．…………………………………………14分
于是由，可得，进一步得，
此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．………………………………………16分
又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，
因此，，即的最小值为．…………18分
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