www.ks5u.com
2016年江西省赣中南五校联考高考数学适应性试卷
一、选择题
1．已知y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，则a的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣3
2．在下列区间中，函数f（x）=3x﹣x2有零点的区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，0]
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
4．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）
A．（1，﹣3） B．（4，3） C．（3，1） D．（2，3）
5．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
6．以下命题：
①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；
②已知平面α，β的法向量分别为，则α⊥β⇔•=0；
③两条异面直线所成的角为θ，则0≤θ≤；
④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤．
其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90
8．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中
①ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④a＞b，则＞．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．设非零向量、、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
10．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A．10 B．5 C．﹣1 D．
二、填空题
13．A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B= ．
14．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．
15．函数的值域为 ．
16．已知实数满足，则的取值范围是 ．
17．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为 ．
三、综合题
18．已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+）．
（1）若f（α）=+1，0＜a＜，求sin2α的值；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f（A）=﹣，c=3，△ABC的面积S△ABC=3，求a的值．
19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
20．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
21．如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．
22．设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．
选做题：请考生在第23/24/25三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答前请标明题号．[选修4-1：证明选讲]
23．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP•AD的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
24．（选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C2与x轴的交点，求|MN|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
25．关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，求实数m的取值范围．
2016年江西省赣中南五校联考高考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，则a的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】推出f（﹣3）的值代入函数表达式可得a．
【解答】解：∵y=f（x）是奇函数，且f（3）=6，
∴f（﹣3）=﹣6，
∴9﹣3a=﹣6．
解得a=5．
故选A．
【点评】考查了奇函数的性质，属于基础题．
2．在下列区间中，函数f（x）=3x﹣x2有零点的区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，0]
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】根据实根存在性定理，在四个选项中分别作出区间两个端点的对应函数值，检验是否符合两个函数值的乘积小于零，当乘积小于零时，存在实根．
【解答】解：∵f（0）=1，f（1）=2，
∴f（0）f（1）＞0，
∵f（2）=5，f（1）=2
∴f（2）f（1）＞0，
∵f（﹣2）=，f（﹣1）=，
∴f（﹣2）f（﹣1）＞0，
∵f（0）=1，f（﹣1）=，
∴f（0）f（﹣1）＜0，
总上可知只有（﹣1，0）符合实根存在的条件，
故选D．
【点评】本题考查实根存在的判定定理，是一个基础题，函数的零点是一个新加的内容，考查的机会比较大，题目出现时应用原理比较简单，是一个必得分题目．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=×22×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力
4．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）
A．（1，﹣3） B．（4，3） C．（3，1） D．（2，3）
【考点】恒过定点的直线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】直线方程整理后，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出直线过的定点．
【解答】解：直线方程整理得：2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∴，
解得：，
则直线过定点（3，1），
故选：C．
【点评】此题考查了恒过定点的直线，将直线方程就行适当的变形是解本题的关键．
5．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】不等式的解法及应用；直线与圆．
【分析】求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，
即圆心为（1，2），
∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，
∴直线过圆心，
即2a+2b﹣2=0，
∴a+b=1，
则+=（+）（a+b）=2+1+，
当且仅当，即a=时取等号，
故+的最小值是3+，
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．
6．以下命题：
①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；
②已知平面α，β的法向量分别为，则α⊥β⇔•=0；
③两条异面直线所成的角为θ，则0≤θ≤；
④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤．
其中正确的命题是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】①根据三垂线定理可知正确；
②利用面面垂直的判定与性质定理可得α⊥β⇔•=0；
③利用异面直线所成的角定义可得：0＜θ≤；
④利用线面角的范围即可判断出正误．
【解答】解：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直，根据三垂线定理可知正确；
②已知平面α，β的法向量分别为，则α⊥β⇔•=0，正确；
③两条异面直线所成的角为θ，则0＜θ≤，因此不正确；
④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤，正确．
其中正确的命题是①②④．
【点评】本题考查了三垂线定理、空间角的范围、面面垂直与法向量的关系，考查了推理能力与理解能力，属于基础题．
7．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】计算题．
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．
【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，
∴a42=a3a7，
即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），
整理得2a1+3d=0，①
又∵，
整理得2a1+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．
8．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中
①ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④a＞b，则＞．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】不等式的基本性质．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得．
【解答】解：选项①ac2＞bc2，则a＞b正确，由不等式的性质可得；
选项②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d正确，由不等式的可加性可得；
选项③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，需满足abcd均为正数才可以；
选项④a＞b，则＞错误，比如﹣1＞﹣2，但＜．
故选：B
【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．
9．设非零向量、、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由+=可得﹣=，两边平方，结合向量的数量积的性质和定义，即可得到所求夹角．
【解答】解：设||=||=||=t，
由+=可得﹣=，
平方可得，（﹣）2=2，
即有||2+||2﹣2•=||2，
即为2•=||2=t2，
即有2t2cos＜，＞=t2，
即为cos＜，＞=，
则向量与向量的夹角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
10．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．
【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由已知及三角形内角和定理，诱导公式可得===，再结合正弦定理即可得解．
【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，
∴===．
再结合正弦定理得：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基础题．
12．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A．10 B．5 C．﹣1 D．
【考点】导数的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．
【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，
∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，
又f（1）=10，故切点坐标（1，10），
∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，
切线在x轴上的截距为﹣，
故选D．
【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．
二、填空题
13．A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B= {（﹣1，3）} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】联立A与B中两方程，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．
【解答】解：由A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，
联立得：，
解得：，
则A∩B={（﹣1，3）}．
故答案为：{（﹣1，3）}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
14．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
15．函数的值域为 [，+∞） ．
【考点】函数的值域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】可得函数的定义域为[，+∞），函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．
【解答】解：由2x﹣1≥0可得x≥，
∴函数的定义域为：[，+∞），
又可得函数f（x）=+x在[，+∞）上单调递增，
∴当x=时，函数取最小值f（）=，
∴函数f（x）的值域为：[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．
16．已知实数满足，则的取值范围是 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们先画出满足约束条件的可行域，然后分析的几何意义，分析可行域内点的情况，即可得到的取值范围．
【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图示：
∵表示可行域内任一点与原点的连线的低利率
故当x=3，y=1时，有最小值；
故当x=1，y=2时，有最大值2；
故的取值范围为：[，2]；
故答案为：[，2]
【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
17．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为 ．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计．
【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．
【解答】解：根据几何概型得：
取到的点到M的距离小1的概率：
p==
==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
三、综合题
18．已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+）．
（1）若f（α）=+1，0＜a＜，求sin2α的值；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f（A）=﹣，c=3，△ABC的面积S△ABC=3，求a的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）化简可得f（x）=cos（2x+）+1，由题意易得cos（2α+）=，进而可得sin（2α+）=，而sin2α=sin（2α+﹣），代入两角差的正弦公式计算可得；
（2）由（1）易得cos（2A+）=﹣，结合A的范围可得A=，再由面积公式可得b=4，由余弦定理可得．
【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+cos（2x+）
=1+cos2x+cos2x﹣sin2x
=cos2x﹣sin2x+1
=cos（2x+）+1，
∴f（α）=cos（2α+）+1=+1，
∴cos（2α+）=，
∵0＜α＜，∴0＜2α+＜，
∴sin（2α+）==，
∴
（2）∵f（x）=cos（2x+）+1，
∴f（A）=cos（2A+）+1=﹣，
∴cos（2A+）=﹣，
又∵A∈（0，），∴2A+∈（，），
∴2A+=，解得A=
又∵c=3，S△ABC=bcsinA=3，∴b=4
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=13，
∴a=
【点评】本题考查余弦定理，涉及两角和与差的三角函数公式和三角形的面积公式，属基础题．
19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM=D1D．
又ECCC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．
【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．
20．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160
）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图前五组频率为0.82，从而后三组频率为0.18，由此能求出这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数．
（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.04，人数为2，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，从而求出第六组人数为4，第七组人数为3，由此能求出其完整的频率分布直方图．
（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，身高在[190，195]内的人数为2，由此利用列举法能求出事件“|x﹣y|≤5”的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，
∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．…．
（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，
又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，
第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．…
（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，
身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；
若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；
若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．
所以基本事件总数为6+1+8=15，…．
事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，
∴P（|x﹣y|≤5）=．…．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
21．如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0），求出直线l的方程为，利用，可得过点P，Q，O的圆的圆心为PQ的中点，将直线与抛物线联立，即可求出PQ的中点的坐标与圆的半径，从而可得过点P，Q，O的圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…
由，①得y'=x，
∴过点P的切线的斜率k切=2，…
直线l的斜率k1==，…
∴直线l的方程为y﹣2=，即x+2y﹣6=0…
（Ⅱ）设P（x0，y0），则．
∵过点P的切线斜率k切=x0，因为x0≠0．
∴直线l的斜率k1==，
直线l的方程为．②…
设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，
因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…
且，…
所以x0x1=0（舍去）或x0x1=﹣4…
联立①②消去y，得
由题意知x0，x1为方程的两根，
所以，又因为x0＞0，所以，y0=1；
所以，y1=4…
∵M是PQ的中点，∴…
∴…
所以过点P，Q，O的圆的方程为…
【点评】本题考查利用导数研究抛物线切线的方程，考查向量知识，考查圆的方程，解题的关键是直线与抛物线联立，确定圆的圆心的坐标与半径．
22．设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（2）由a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间[1，2]的最大值；
（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=． …
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．
经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分） …
（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．
因为0＜a＜，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，2]上是增函数，
∴当x=2时，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a．
（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，
所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，
则g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增，
当x=x2时，g（x）取最小值g（x2）． …
则即
所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即=1，
解得m=． …
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．
选做题：请考生在第23/24/25三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答前请标明题号．[选修4-1：证明选讲]
23．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP•AD的值．
【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；
（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．
【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，
∴△DPC～△DBA，∴
又∵AB=AC，∴
（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，
∴AC2=AP•AD=9
【点评】本小题属于基础题．此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
24．（选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），P为C1上的动点，Q为线段OP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C2与x轴的交点，求|MN|的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），利用Q为线段OP的中点，可得点P（2x，2y），利用P为C1上的动点，曲线C1的参数方程为，即可求得点Q的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），且曲线ρ=2sinθ上的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1，从而可求|MN|的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设Q（x，y），则∵Q为线段OP的中点，∴点P（2x，2y），
又P为C1上的动点，曲线C1的参数方程为
∴（t为参数）
∴（t为参数）
∴点Q的轨迹C2的方程为（t为参数）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），
∵曲线ρ=2sinθ
∴ρ2=2ρsinθ
∴x2+y2=2y
∴x2+（y﹣1）2=1
即曲线ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1
∴|MN|的最大值为．
【点评】本题重点考查轨迹方程的求解，考查代入法求轨迹方程，考查极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
25．关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞3的解集为R，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】根据绝对值的意义可得|x﹣1|+|x+m|的最小值为|m+1|，再由|m+1|＞3 求得实数m的取值范围．
【解答】解：|x﹣1|+|x+m|的几何意义就是数轴上的x对应点到1和﹣m对应点的距离之和，
它的最小值为|m+1|，
由题意可得|m+1|＞3，
解得 m＞2或m＜﹣4．
【点评】根本题考查了绝对值的几何意义，解绝对值不等式问题，是一道基础题．
微信/支付宝扫码支付