2016高三4月文科数学调考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则集合中元素的个数为 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于的概 率为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，， 则（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，
所得函数图像的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，
甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数
列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的图象与（为常数）的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．在程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
否
输出S
结束
k=k+1
否
S=S+T
是
是
k是偶数？
是
否
k≤N ?
开始
输入N
k=1,S=0
10．设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
1
1
1
2
2
正视图
侧视图
俯视图
A． B．
C． D．
12．已知为常数，函数在内有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．设函数，若，则实数
14．已知数列的前项和，正项等比数列中，， ，则
15．已知半径为的圆是半径为的球的一个截面，若球面上任一点到圆面的距离
的最大值为，则球的表面积为
y
Q
F1
F2
O
x
P
16．如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且，若，则椭圆的离心率
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在△中，角所对的边分别为，函数，，在处取到最大值．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
18．（本小题满分12分）2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如右图所示：
0
40
60
80
100
分数
0.006
0.025
0.010
20
0.003
对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成 [0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100] 五组，并作出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算被调查者中不喜欢这种造型的人数，并估计打分的平
均值；
（Ⅱ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据位被调查者的
情况制作的关联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的
把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关?
喜欢头上长“草”的造型
不喜欢头上长“草”的造型
合计
喜欢动画片
不喜欢动画片
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附：临界值表参考公式：，．
19．（本小题满分12分）如图，四边形是菱形，平面,,,，点为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
F
E
B
A
P
D
C
20．（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点．
（Ⅰ）若,，求的面积；
（Ⅱ）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．
y
A
M
N
O
x
21．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点．
（Ⅰ）求证：是圆的切线；
（Ⅱ）若，求的值．
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且，证明：．
2016年高三适应性考试调考试卷
数学答案（文科）
一、 BBDBD DBACA CC
二、 13． 14． 15． 16．
17．解析：（Ⅰ）
............... 3分
又，则有， ................5分
所以当，即时，函数取到最大值，
所以； ................ 6分
（Ⅱ）由余弦定理知：，
即 ，解得：，， ................ 9分
所以． ................12分
18．解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，不喜欢这种造型的被调查者共有
人， ................ 3分
打分的平均值为：
；
................ 6分
（Ⅱ）如表：
喜欢头上长“草”的造型
不喜欢头上长“草”的造型
合计
喜欢动画片
30
9
39
不喜欢动画片
5
6
11
合计
35
15
50
， ….......... 9分
所以有以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关．
....…… 12分
19．解析：（Ⅰ）连接，取的中点，连接.
G
因为点为的中点，所以且，
又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，....................................................................1分
因为四边形是菱形，，所以△为等边三角形，
因为为的中点，所以，即有， ....…… 3分
又平面，平面，所以，即有，.....5分
又，平面，
所以平面； ............6分
（Ⅱ）因为，，
所以， ...............7分
， ...............9分
又，，
所以，
设点到平面的距离为，则， ..............11分
又，所以，． ...............12分
20．解析：（Ⅰ）由题知，所以，为圆的直径，
的方程为，直线的方程为，
所以圆心到直线的距离， ...............2分
所以，由中位线定理知，， ...............4分
； ...............5分
（Ⅱ）设、，
①当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：
，整理得：，
则有，， ...............8分
[来源:学*科*网]
； ...............10分
②当直线斜率不存在时，直线的方程为，
代入圆的方程可得：，，；....11分
综合①②可得：为定值，此定值为． ...............12分
21．解析：（Ⅰ）当，时，，
所以．所以，， ...............2分
所以曲线在点处的切线方程为，
即． ...............4分
（Ⅱ）证法一：当，时，．
要证明，只需证明
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则．
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且
因为，所以，即
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，． ...............12分
思路2：先证明．设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
所以要证明，
只需证明，即证明．
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
由于取等号的条件不同，所以．
综上可知，当时，．
思路3：先证明．
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，
设直线与曲线，分别交于点，，点
，到直线的距离分别为，，
则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．所以．
所以．
综上可知，当时，．
22．解析：（Ⅰ）连接，可得，
∴ ..............3分
又，∴，又为半径，∴是圆的切线； ..............5分[来源:Z*xx*k.Com]
（Ⅱ）过作于点，连接，则有，
...............7分
设，则，∴ ...............8分
由可得，又由，
可得． ...............10分
23．解析：（Ⅰ）由，，可得， ...............1分
所以曲线的普通方程为（或）， ...............3分
因为直线的参数方程为（为参数，），
消去得直线的普通方程为； ...............5分
（Ⅱ）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，
因为点在曲线上，所以可设点， ...............7分
所以点到直线的距离为， ...............8分
因为，所以当时，， ...............9分
此时点的坐标为． ...............10分[来源:Zxxk.Com]
24．解析：（Ⅰ）因为，[来源:学。科。网]
当且仅当时等号成立，
所以，解得； ...............5分
（Ⅱ）证明：要证，即证，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
只需证，
即证，[来源:Z#xx#k.Com]
又，，
所以，
所以，
故原不等式成立． ...............10分
1．答案：B
解析：集合，为奇数集，则，故选B．
2．答案：B
解析：因为，故选B．
3．答案：D
解析：从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，有共种，则这个两位数不大于的有共种，因此概率，故选D．
4．答案：B
解析：因为，，所以，故选B．
5．答案：D
解析：函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，解析式变为：[来源:Zxxk.Com]
，再向右平移个单位，解析式变为，刚好是图像的一个对称中心，故选D．
6．答案：D
解析：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有
，解得：，故选D．
7．答案：B
解析：因为，解得，所以，则，不妨设，
又，故，所以，解得，故选B．
8．答案：A
解析：由可得点在函数的图象上，代入解析式解得，，又当时，解得，则点在函数的图像上，点在函数的图象上，，故选A．
9．答案：C
解析：由于程序中根据的取值，产生的值也不同，故可将程序中的值从小到大，每四个分为一组，即，．∵当为偶数时，；当为偶数，即时，；否则，即时，．
故可知：每组的4个数中，偶数值乘以累加至，但两个奇数对应的值相互抵消，即，故选C．
10．答案：A
解析：不等式组对应的平面区域是由三条直线,和围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为、、．由题意可知在点或线段上取最大值，在点或线段上取最小值，于是有或或，解得：，故选A．
11．答案：C
解析：由题意可知几何体的形状是组合体．右侧是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2；左侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．几何体的表面积为：，故选C．
12．答案：C
解析：由已知得在内有两个相异的实根，[来源:学科网ZXXK]
又，即有
在内有两个相异的实根，即函数与的图象有两个交点．，在上单调递减，在上单调递增，又时，，且,，有，解得：，故选C．
13．答案：
解析：（1）当时，由，解得，符合题意；
（2）当时，由，解得，不符合题意，故舍去；
综上可得：．
14．答案：
解析：∵，
∴，又，∴，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，．
15．答案：
解析：由已知及球的性质可知，球心到截面的距离为，∵，
，解得：，∴．
16．答案：
解析：由，，得：，
由椭圆的定义,，知，于是
，解得，故．由勾股定理得
，从而，化简得，故离心率．
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