黄浦区2016年高考模拟考
数学试卷（理科） （2016年4月）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合，集合．若，则实数 ．
2．计算： ．
3．函数的反函数 ．
4．函数的最小正周期为 ．
5．在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）．
6．已知菱形，若，，则向量在上的投影为 ．
第7题
7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为，则其体积 ．
8．已知函数，若的定义域中的、满足，则 ．
9．在代数式的展开式中，常数等于 ．
10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为 ．
11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的个小球上分别标上号码、和，现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是
（结果用最简分数表示）．
12．设离散型随机变量可能取的值为，，，（），若的数学期望，则 ．
13．正整数、满足，若关于、的方程组有且只有一组解，则的最大值为 ．
14．数列中，若，（，，），则满足 的的最小值为 ．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的[答] ( )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．复数（，为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．若△的三条边，，满足，则△[答] ( )．
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
18．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为[答] ( )．
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为．若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度（精确到）．
20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
已知函数，其中、为非零实常数．
（1）若，的最大值为，求、的值．
（2）若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且．
21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
已知函数，其中．
（1）证明：函数在上为增函数．
（2）证明：不存在负实数使得．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列的通项公式为，其中，、．
（1）试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数．
（2）若，，数列满足，且对任意的（），均有，写出所有满足条件的的值．
（3）若，数列满足，其前项和为，且使（、，）的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部．
（1）若直线上点都在的外部，求的取值范围．
（2）若过点，圆（）在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围．
（3）若曲线（）上的点都在的外部，求的取值范围．
黄浦区2016年高考模拟考
数学试卷（文理）参考答案
一、填空题(本大题满分56分)
1． 2． 3．， 4． 5．
6． 7． 8． 9．（理）（文） 10．（理）（文）
11．（理） （文） 12．（理） （文）
13．（理）（文） 14．（理）（文）
二、选择题(本大题满分20分)
15．B 16．D 17．C 18．C
三、解答题(本大题满分74分)
19．(本题满分12分)
[解] 联结，，由题意，平面，因为凳面与地面平行，
所以就是与平面所成的角，即．（2分）
在等边三角形中，，得，（4分）
在直角三角形中，，（6分）
由，解得厘米．（9分）
三根细钢管的总长度厘米．（12分）
20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
[解]（1）因为（其中，），
所以的最大值为．
由，（2分）
及，（4分）
解得，或，．（6分）
（2）易知，当时，取得最大值或最小值，
于是，解得．（8分）
于是，（10分）
当时，解得或（）．（12分）
因为，故所求的值为，，．（13分）
21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．
[证明]（1）任取，
．（3分）
因为，，所以，，，，
于是，，得，即．
因此，函数在上为增函数．（6分）
（2）（反证法）若存在负实数（），使得，即方程有负实数根．（8分）
对于，当且时，因为，所以，（10分）
而．（13分）
因此，不存在负实数使得，得证．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（理）[解]（1）、（答案不唯一）．（4分）
（2）由题设，．（6分）
当，时，均单调递增，不合题意，因此，．
当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．
由题设，有，．（8分）
于是由及，可解得．
因此，的值为7，8，9，10，11．（10分）
（3）
其中，且．
当时，各项均为正数，且单调递增，，也单调递增，不合题意；
当时， 不合题意；（12分）
于是，有，此时（14分）
因为（、，），所以、．
于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．（16分）
又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，
不妨设，于是有，
因为当时，，所以，
因此，，即的最小值为．（18分）
（文）[解]（1）设直线上点的坐标为，代入，
得，（2分）
对于，，因此，直线上的点都在的外部．（4分）
（2）设点的坐标为，由题设．（6分）
，由，得，（8分）
对于，有，于是，（10分）
因此，的最小值为．
（3）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．（12分）
将，代入双曲线方程，得（*），（13分）
又因为过点，所以，（15分）
将代入（*）式，得．（17分）
由，解得．因此，的取值范围为．（18分）
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（理）[解]（1）由题意，直线上点满足，即求不等式的解为一切实数时的取值范围．（1分）
对于不等式，
当时，不等式的解集不为一切实数，（2分）
于是有解得．
故的取值范围为．（4分）
（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况．
由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为．
将，代入双曲线方程，得（*），（6分）
又因为过点，所以，（7分）
将代入（*）式，得．（9分）
由，解得．因此，的取值范围为．（10分）
（3）由，得．将代入，
由题设，不等式对任意非零实数均成立．（12分）
其中．
令，设，（）．
当时，函数在上单调递增，不恒成立；（14分）
当时，，
函数的最大值为，
因为，所以；（16分）
当时，．（17分）
综上，，解得．因此，的取值范围为．（18分）
（文） [解]（1）、（答案不唯一）．（4分）
（2）由题设，．（6分）
当，时，均单调递增，不合题意，因此，．
当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．
由题设，有，．（8分）
于是由及，可解得．
因此，的值为7，8，9，10，11．（10分）
（3）因为，且，
所以（12分）
因为（、，），所以、．（14分）
于是由，可得，进一步得，
此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．（16分）
又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，
因此，，即的最小值为．（18分）
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