棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
文科数学
第I卷 选择题（60分）
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知是虚数单位，且，则
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
①，②，③
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3．已知， 则等于
A． B． C． D．
4.设等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知抛物线（其中为常数）经过点，则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7.某中学有高中生人，初中生人，高中生中男生、女生人数之比为，初中生中男生、女生人数之比为，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取男生人，则从高中生中抽取的女生人数是
A． B． C. D．
8.为双曲线：上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
9．将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为
A． B． C． D．
10.设函数，.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围
A． B． C. D．
11.已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C. D．
12．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量，，若，则实数的值为 .
14．设实数满足约束条件，则的最大值是 .
15．在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x +y -4 =0相切，则圆C面积的最小值为
16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)
三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数，且当时，函数取得极值为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
对车辆状况不满意
合计
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.
参考数据：
参考公式：，其中.
19.（本小题满分12分）
在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；
21.（本小题满分12分）
函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若，证明：当时，.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，，求.
23.（本小题满分10分）
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取
值范围.
棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
文科数学参考答案
一．选择题
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A 11.B 12.D
二．填空题
13. 10 14. 15. 16. ②④
三．解答题
17.解：（1），
由题意得，，即，解得，
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
由，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得，即，解得，
18.解：（1）由列联表的数据，有
.
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
（2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.
则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，，，.共种.
记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为.
∴.
所以从张骑行券中随机选取张转赠给好友，选取的张中至少有张是一元券的概率为.
19.（12分）
（I）证明：取中点，连接.
在△中，有
分别为、中点
在矩形中，为中点
四边形是平行四边形
而平面，平面
平面
（II）解： 四边形是矩形
，
平面平面,平面平面=，平面
平面
平面平面，平面
，满足
平面
平面
点到平面的距离等于点到平面的距离.
而
三棱锥的体积为.
20.解：（1）设椭圆的方程为： ，
由已知： 得： ， ，
所以，椭圆的方程为： .
（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为
由得
由即有
即
有
解得 综上：实数的取值范围为
21.解：（1）函数的定义域为，，
由得， 得，所以函数在单调递减，
在上单调递增，所以函数只有极小值.
（2）不等式等价于，由（1）得：.
所以，，所以.
令，则，当时，，
所以在上为减函数，因此，，
因为，所以，当时，，所以，而，所以.
22.解：（1）直线的参数方程为（为参数）.
由曲线的极坐标方程，得，
把，，代入得曲线的直角坐标方程为.
（2）把代入圆的方程得，
化简得，
设，两点对应的参数分别为，，
则，∴，，则.
23.解：（1）当时，由得：，
故有或或，
∴或或，∴或，
∴的解集为.
（2）当时，∴，
由得：，∴，∴的取值范围为.
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