棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
理科数学
第I卷 选择题（60分）
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知是虚数单位，且，则
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
①，②，③
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3．已知， 则等于
A． B． C． D．
4．已知随机变量ξ服从正态分布 N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则 P（ξ≤0）=
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
5．一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02．设发病 的牛的头数为ξ，则 Dξ等于
A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804
6.将小亮等名同学全部安排到、、、四个社区参加社区活动，每个社区至少安排一人，则小亮在社区的安排方案共有
A．种 B．种 C.种 D．种
7.某中学有高中生人，初中生人，高中生中男生、女生人数之比为，初中生中男生、女生人数之比为，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取男生人，则从高中生中抽取的女生人数是
A． B． C. D．
8.若，满足约束条件，则的最小值是
A． B． C. D．
9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则
A． B． C． D．
10.设函数，.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围
A． B． C. D．
11.已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C. D．
12．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式展开式中含项的系数是 ．
14.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则 ．
15．在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x +y -4 =0相切，则圆C面积的最小值为 .
16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数，且当时，函数取得极值为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
[0,20）
[20,40）
[40,60）
[60,80）
[80,100）
频数
2
250
450
290
8
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）错误！未找到引用源。范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.
附:若错误！未找到引用源。，则
，
19.（本小题满分12分）
如图所示，三棱锥中，平面，，，为上一点，，，分别为，的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，，求.
23.（本小题满分10分）
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取
值范围.
棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
理科数学参考答案
一．选择题
1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D
二．填空题
13. 210 14. 15. 16. ②④
三．解答题
17.解：（1），
由题意得，，即，解得，
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
由，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得，即，解得，
18.解：（1）设样本的中位数为，
则错误！未找到引用源。，
解得，所得样本中位数为错误！未找到引用源。（百元）.
估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上.
（3）的可能取值为0，1，2，3，
，，
，
∴错误！未找到引用源。的分布列为
0
1
2
3
错误！未找到引用源。
19. 解 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，
∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，
(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，
∴·＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，
因此CM⊥SN.
(2) ＝(－，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
∴·a＝0，·a＝0.
则∴取y＝1，则得＝(2,1，－2)．
平面NBC的法向量
因为平面NBC与平面CMN所成角是锐二面角；所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为..
20.解：（1）设椭圆的方程为： ，
由已知： 得： ， ，
所以，椭圆的方程为： .
（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为
由得
由即有
即
有
解得
综上：实数的取值范围为
21.解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，
y′＝－＝，
当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；
当02，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；
(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，
当0
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