海口一中 2016 年高考模拟考试(三)
数学(文科)试题 数学(文科)试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D C A D A B D D C C
二、填空题
13. 2 1 0xy 14. 6 15. 4 16. 41[1 ( ) ]34
n
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ) 7sin( ) 2cos sin( ) 2cos 3sin( ) 06 6 3B C A A A A
因为 A 是三角形内角,所以
3A „„„6 分
(Ⅱ)由sin 2sin 0CB知sin 2sinCB ,则 2cb
2 2 2 2 2 2 22 cos 4 2 33a b c bc b b b b
所以 2 2 2c a b
所以 ABC 是以 c 为直角边的直角三角形
所以 的面积 21 1 3 3 232 2 3 6ABCS ab a a a
所以 23a „„12 分
18.( 本小题满分 12 分)
(Ⅰ)
„„„„„4 分
(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从身高在 80,85 和 95,100 的女童中共抽取 4 名,则身高在 的人数 5 415 15
; „„„8 分
(Ⅲ)设在 80,85 中抽取到的女童为 x ,在 95,100 中抽取到的女童分别为 ,,abc,从抽出的 4 名女童
中,任取 2 名,共有( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x a x b x c a b a c b c6 种情况,其中符合“身高在 和
中各有一名”的情况共有( , ),( , ),( , )x a x b x c 种; 则身高在[80,85) 和[95,100) 中各有 1 人的
概率为 31
62 ; „„„12 分
19.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)因为 ,,D E F 分别为棱 ,,PC AC AB 的中点
所以 112, 222DE PA EF BC „„„1 分
所以 2 2 2DE EF DF„„„2 分
所以 DE EF
又 ,DE分别为棱 ,PC AC 的中点,所以 ||PA DE „„3 分
所以 PA EF „„„„4 分分
因为 ,PA AC AC EF E
所以 PA 平面 ABC „„„6 分
(Ⅱ)
11
133
11 84233
BEF BEF
D BEF
P ABC
ABC BEF
S DE S DEV
V S PA S DE
„„„12 分
20.(本小题满分 12 分)
解:(I)根据椭圆的定义 24a ,所以 2a „„2 分
2 2 213ba „„4 分
所以椭圆 C 的标准方程为
22
143
xy„„„5 分
(II) PA AB
则 A 是 PB 的中点设 21212211 3202),,(B),,(A yyxxyxyx ,由题知:
椭圆 ),3-,0()3,0( 和的上下顶点坐标分别是 经检验直线l 不经过这 2 点,即直线 的斜率 k 存在。
设直线 的方程为 3y kx
联立椭圆和直线方程,整理得: 221221
22
43
24,
43
2402424)43
k
xx
k
kxxkxxk
(
2
3
2
9
24)43(
)24(
2
52)(22
1
2
2
21
21
2
21
1
2
2
1
k
k
k
xx
xxxx
x
x
x
x
所以,直线l 的方程为 3 32yx „„„12 分
21.(本小题满分 12 分)
.解:(Ⅰ) fx的定义域为(0, )
2
' () a x af x x xx
.
①当 0a , 0x 时, ( ) 0fx , 在 上单调递增,无极值:
②当 0a ,由 ' ( ) 0fx 解得 xa .
()fx与 ' ()fx在区间(0, ) 上的情况如下:
X (0, )a a ( , )a
()fx - 0 +
↘ (1 ln )
2
aa ↗
所以, 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ;
在 xa 处取得极小值 (1 ln )() 2
aafa . „„„5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 在区间 上的最小值为 .
因为 存在零点,所以 (1 ln ) 02
aa ,从而 ae .
当 ae 时, 在区间(1, )e 上单调递减,且 ( ) 0fe ,
所以 xe 是 在区间(1, ]e 上的唯一零点.
当 ae 时, 在区间(0, )e 上单调递减,且 1(1) 02f , ( ) 02
eafe , 所以 ()fx在区间(1, ]e 上仅有一个零点.
综上可知,当 0a 时,若 存在零点,则 在区间 上仅有一个零点.(12 分)
四、选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计入总分,
满分 10 分. 请将答题的过程写在答题卷...中指定..的位置).
22.证明:
(Ⅰ)∵OF AB
∴ 90FOB ,
∴ 1 452FEB FOB -----------2 分
∵ AB 是圆O 的直径.
∴ 90AEB AEF FEB ,
∴ 45AEF .
∵ EF BC
∴ 90EHD EHB ,
∴ 45EDH EBH ,
又 CDA EDH , CAD EBH
∴ 45CDA CAD ,
∴ CA CD .-------------------------5 分
(Ⅱ)连接 DI , DO ,由(Ⅰ)得 EI 为线段 DB 的垂直平分线,故 H 为线段 DB 的中点,
∵ D 是弦 BC 的中点,
∴ OD DB ,------------------------------------------8 分
∴ DO // HI ,
∴ I 为线段OB 的中点,
∴在 Rt ODB 中, 1 52DI OB.------------------10 分
23.解:(Ⅰ)由圆 1C 的参数方程 1 cos
sin
xt
yt
(t 为参数),
得 22( 1) 1xy ,---------------------------1 分
所以 1( 1,0)C , 1 1r
又因为圆 2C 与圆 外切于原点O ,且两圆圆心的距离 12| | 3CC ,
可得 1(2,0)C , 2 2r ,则圆 2C 的方程为 22( 2) 4xy ---------3 分
所以由 cos
sin
x
y
得
圆 的极坐标方程为 2cos , 圆 2C 的极坐标方程为 4cos --------------5 分
(Ⅱ)由已知设 1A( , ),
则由 12ll 可得 2B( , )2
, 3C( , ) , 4
3D( , )2
由(Ⅰ)得
1
2
3
4
4cos
2cos( ) 2sin2
2cos( ) 2cos
34cos( ) 4sin2
,
所以 1 3 2 4
11( )( ) 18sin cos 9sin 222ABCDS AC BD 四边形 ------8 分
所以当sin2 1 时,即
4
时, ABCDS四边形 有最大值 9-----------------10 分
24.解:(Ⅰ)当 1x 时, ( ) (2 1) ( 1) 3 3f x x x x 解得 1x ,故此情况无解;
当 11 2x 时, ( ) (2 1) ( 1) 2 3f x x x x 解得 1x ,故 ;
当 1
2x 时, ( ) (2 1) ( 1) 3 3f x x x x 解得 1x ,故 1 12 x.
综上所述,满足 ( ) 3fx 的解集为 11xx .-------------------5 分
(Ⅱ)当 0x 时,可知对于 mR ,不等式均成立;
当 0x 时,由已知可得 2 1 1( ) 1 1 1 12 1 (2 ) (1 ) 3xxfxm x x x x x x
,
当 1x 或 1
2x 时,等号成立.
综上所述,使得不等式恒成立的 m 的取值范围为 3m .--------------10 分
说明:本题也可以数形结合进行求解。