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新 课 标 模 拟 卷 8
数学试题(八)
编审摇
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数学研究室
摇 摇 注:1郾 本卷总分 150 分,考试时间 120 分钟;
2郾 考试范围:高考考试大纲规定的考试内容 郾
第玉卷(选择题摇 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1郾 复数 z 满足 z(2-i)= 3+i,则z= (摇 )
A郾 1-i B郾 1+i C郾 -1-i D郾 -1+i
2郾 cos 仔
7 cos 3仔
7 cos 5仔
7
的值为 (摇 )
A郾 1
4 B郾 - 1
4 C郾 1
8 D郾 - 1
8
3郾 “c0,00,y =
( )[ ]f f x >0,x臆0 时,cosx沂 -1,
[ ]
1 ,若 cosx>0,则 y = f
( )[ ]f x >0,若-1臆cosx臆0,则同样可得 y =
( )[ ]f f x >0,所以无零点.
选 A.
13郾 2 摇 由图形的对称性可得, S = 1
2 乙
5仔
4
仔
4
(sinx - cosx)dx = 1
2 (cos 仔
4
+ sin 仔
4 ) - 1
2 (cos 5仔
4
+ sin 5仔
4 ) = 2 .
14郾 3
3 摇 由已知,当 P 是短轴端点时,蚁F
1
PF
2
有最大值,所以 1
3 =
2a2
-4c2
2a2 ,解得 c
a = 3
3
.
15郾 3
2 摇 由图可知,当且仅当目标函数过两边
界交点 A 2,
( )
1 ,且-2臆-a臆-1 时,目标函数
有最小值,所以 4 =2a+1,故 a = 3
2
.
16郾 a塥 b = ( x
1
x
2 - y
1
y
2 , x
1
y
2 + x
2
y
1 ) 摇 a = r
1
cos兹
1 ,sin兹( )
1 ,b = r
2 cos兹
2 ,sin兹( )
2 ,其中,x
1 = r
1
cos兹
1 , y
1 = r
1 sin兹
1 , x
2 = r
2 cos兹
2 , y
2 = r
2 sin兹
2
. a 塥 b = r
1
r
2
cos(兹
1 +兹
2 ),sin(兹
1 +兹
2
( )
) ,因为 r
1
r
2 cos(兹
1 +兹
2 )= r
1
r
2 cos兹
1 cos兹
2 -r
1
r
2
sin兹
1 sin兹
2 =x
1
x
2 -y
1
y
2 ,r
1
r
2 sin(兹
1 +兹
2 )= r
1
r
2 sin兹
1 cos兹
2 +r
1
r
2 cos兹
1 sin兹
2 =
x
1
y
2 +y
1
x
2 ,故 a塥b =(x
1
x
2 -y
1
y
2 ,x
1
y
2 +x
2
y
1 ).
17郾 解:(1)令 m=1,有n+1
2 (an -a
1 )= Sn -S
1 ,又 a
1 = 1,所以n+1
2 (an -
1)= Sn -1,……淤
所以有 n
2 (an-1 -1)= Sn-1 -1……于(n逸2)
两式联立,化简可得:(n-1)an -nan-1 =1,(n逸2)
于是:bn -bn-1 = 1n(n-1),利用累加法可得:bn =2n-1n ,所以 an =2n-1,
由 an =2n-1,得 Sn =n2
,两式代入检验得满足已知条件,故 bn =2n-1n .
(n沂N*
) ……6 分
(2)由上可知 an =2n-1,假设 m、k、n 构成等比数列,即 k2
=mn.
由 am、ak 、an 成等比数列可得:(2k-1)
2
=(2m-1)(2n-1),
化简得:4k2
-4k+1 =4mn-2m-2n+1,由假设知 k2
=mn,
所以 2k =m+n,因为 m、k、n 是不等的正整数,所以 k = mn ,
所以( m - n )
2
=0,得 m=n,与已知矛盾. 原命题得证. ……12 分
18郾 (1)证明:疫 AD椅BC,BC = 1
2
AD,Q 为 AD 的中点,则 BC =QD
亦 四边形 BCDQ 为平行四边形,亦 CD椅BQ ……2 分
疫 AD彝DC摇 亦 QB彝AD,
又疫 平面 PAD彝平面 ABCD,且平面 PAD疑平面 ABCD=AD ……4 分
亦 BQ彝平面 PAD揖2016 届高三新课标模拟卷·数学试题(八)(理)·新课标卷·第 6摇摇摇摇 页(共 4 页)铱
疫 BQ奂平面 PQB
亦 平面 PQB彝平面 PAD ……6 分
(2)解:法一:疫 PA=PD,Q 为 AD 的中点,亦 PQ彝AD
平面 PAD彝平面 ABCD,且平面 PAD疑平面 ABCD=AD
亦 PQ彝平面 ABCD ……7 分
如图以 Q 为原点建立空间直角坐标系.
A
M
x
B y
CD
Q
P
z
则平面 BQC 的法向量为 n=(0,0,1)
Q(0,0,0),P(0,0 3 ),B(0, 3 ,0),C(-1, 3 ,0) ……8 分
疫 M 是 PC 中点,亦 M - 1
2 , 3
2 , 3
æ
è
ç
ö
ø
÷
2 ,
寅QB =(0, 3 ,0), 寅QM= - 1
2 , 3
2 , 3
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
.
设 m=(x,y,1)为平面 MBQ 的法向量,
则(0, 3 ,0)·(x,y,1)= 0, - 1
2 , 3
2 , 3
æ
è
ç
ö
ø
÷
2 ·(x,y,1)= 0,则 x = 3 ,y
=0,
亦 平面 MBQ 的法向量是 m=( 3 ,0,1) ……10 分
亦 cos掖m,n业 =
m·n
| m| ·| n| =( 3 ,0,1)·(0,0,1)
3+0+1 · 0+0+1
= 1
2 ,
亦 掖m,n业 = 仔
3 ,亦 兹= 仔
3
. ……12 分
法二:连 CQ,BD 交于一点 H,连 MH,则 MH 是吟PCQ 的中位线,亦
MH椅PQ,
A
P
M
C
BN
HQ
D
疫 PA=PD,Q 为 AD 的中点,亦 PQ彝AD
又疫 平面 PAD彝平面 ABCD,且平面 PAD疑平面 ABCD=AD
亦 PQ彝平面 ABCD,所以 MH彝平面 QBC,亦 MH彝QB; ……8 分
取 QB 中点 N,连 MN、NH,
又疫 NH 是吟QBC 的中位线,亦 NH椅BC,亦 NH彝QB,
则 QB彝平面 MHN
则蚁MNH 为所求角 兹; ……10 分
在 Rt吟MNH 中,NH= 1
2
BC = 1
2 ,MH= 1
2
PQ= 3
2 ,
亦 tan兹=
MH
NH = 3 ,疫 兹沂(0,仔),亦 兹= 仔
3 ……12 分
19郾 解:(1)y =c+
d
x2
更适宜作烧水时间 y 关于开关旋转角 x 的回归方
程类型. ……3 分
(2)由公式可得:d = 16郾 2
0郾 81 = 20,c = 20郾 6-20伊0郾 78 = 5,所以回归方程
为 y =5+20x2
. ……7 分
(3)设 t=kx,则煤气用量 S =yt = kx(5+20x2 )= 5kx+20k
x 逸2 5kx·20k
x
=20k,
当且仅当 5kx =20k
x 时取“ =冶,即 x =2 时,煤气用量最小. ……12 分
20郾 解:(1) 由渐近线方程可知,双曲线 C 的方程为:x2
-4y2
= k,把
2 2 ,
( )
1
代入可得:k =4,所以双曲线方程式:
x2
4 -y2
=1. ……4 分
(2)由双曲线的对称性可知,P 在右支上时, MN 取最小值.
由上可得 A
1(-2,0),A
2(2,0),根据双曲线方程可得:
y
x-2·
y
x+2 = 1
4 ,
所以,设直线 PA
1 、PA
2
的斜率分别为 k
1 、k
2(k
1 、k
2 >0),则 k
1
k
2 = 1
4
.
PA
1
的方程为:y =k
1(x+2),令 x =1,解得 M(1,3k
1 ),
PA
2
的方程为:y =k
2(x-2),令 x =1,解得 N(1,-k
2 ),
所以 MN = 3k
1 -(-k
2 ) = 3k
1 +k
2 逸2 3k
1
k
2 = 3 .
当且仅当 3k
1 =k
2 ,即 k
1 = 3
6 ,k
2 = 3
2
时,等号成立. ……12 分
21郾 解:(1)a =0 时显然符合题意,
a>0 时,因为 f 1
e
æ
è
ç ö
ø
÷x -ax逸0 恒成立,即 e
1
e
x
-ax逸0 恒成立,令 ( )h x =
e
1
e
x
-ax,则 ( )h忆 x = 1
e e
1
e
x
-a.揖2016 届高三新课标模拟卷·数学试题(八)(理)·新课标卷·第 7摇摇摇摇 页(共 4 页)铱
假设 h忆(x
0 )= 0,则 e
1
e
x
0
=ae,x
0 =e(lna+1),且可知 x沂(-肄 ,x
0 )时 h忆
(x
0 )0,
所以 ( )h x 逸h x( )
0 ,令 h(x
0 )>0,得 ae-ae(lna+1)逸0,所以 lna臆0,
所以 0臆a臆1. ……6 分
(2)所求证式子可化为 e
1
e
x
>eln(x-e)+e(x>e),
令 ( )r x =eln(x-e)+e-x(x>e),则 r忆(x)= ex-e-1 =2e-x
x-e (x>e)
易得 x =2e 时 ( )r x 有最大值,而 r( )
2e = elne+e-2e = 0,所以 ( )r x 臆0
且 x =2e 时取“ =冶,
即 x逸eln(x-e)+e 且 x =2e 时取“ =冶,
由(1)可知 e
1
e
x
逸x 且 x =x
0 =e 时取“ =冶,
所以 e
1
e
x
>eln(x-e)+e.
即 f( 1
e
x-1)-g(x-e)>1. ……12 分
22郾 证明:(1)因为 PE 是以 A 为切点的切线,
所以蚁EAD=蚁DCA,
又因为 AD椅BC,
所以蚁EAD=蚁P,蚁DAC =蚁ACP,所以在吟DCA 和吟APC 中,蚁DAC
=蚁ACP,蚁DCA=蚁P,
所以吟DCA易吟APC,所以AD
CA =
CA
PC,所以 AC2
=PC·AD. ……5 分
(2)因为 PA 是切线,所以蚁PAB = 蚁ACP,所以蚁DAC = 蚁PAB,又因
为蚁DCA=蚁P,
所以吟DCA易吟BPA,所以AD
AB =
DC
BP,又由 AD椅BC,所以 AB =DC,所以
AB2
=PB·AD. ……10 分
23郾 解: ( 1 ) 把 t = - 2 代 入 参 数 方 程 得 Q
0,
( )
-1- 3 , PQ =
(1-0)
2
+(-1+1+ 3 )
2
=2. ……5 分
(2)把参数方程代入圆方程有: 1+ 1
2
æ
è
ç ö
ø
÷t 2
+ -1+ 3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷t
2
=4,整理得:
t2
+(1- 3 )t-2 =0,于是有 t
1 +t
2 = 3 -1,t
1
t
2 = -2
所以 MN = t
1 -t
2 ,代入得 MN = 12-2 3 . ……10 分
24郾 解:(1) 1x + 1y + 1z = 1x + 1y + 1æ
è
ç ö
ø
÷
z x+2y+3
( )z
=6+ 2y
x +
æ
è
ç ö
ø
÷x
y + 3z
x +
xæ
è
ç ö
ø
÷
z + 3z
y +2yæ
è
ç ö
ø
÷
z
逸6+2 2 +2 3 +2 6
当且仅当 x = 2 y = 3 z 时,等号成立. ……5 分
(2)证明:由柯西不等式,得
1
2
+2
2
+3
( )2 x2
+y2
+z( )2
逸 x+2y+3
( )z 2
=1,
所以 x2
+y2
+z2
逸 1
14
. ……10 分
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