高三年级市三模前模考数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则M∩N＝ ▲ ．
2．复数(为虚数单位)的共轭复数为 ▲ ．
3.从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．
4．运行如图语句，则输出的结果 ▲ ．
5. 已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为 ；
6. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 ▲ ．
7. 正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于_▲__cm3.
8. 已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量 a＋b与向量a－b的夹角是 ▲ ．
9. 在锐角三角形中，，，则的值为 ▲ ．
10. 在中，，点是内心，且，则 ▲ ．
11.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆
的一条弦，则线段长度的最大值是 ▲ ．
12.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，过中
第12题图
心作直线的平行线交椭圆于两点，若的长是焦距的倍，
则该椭圆的离心率为 ▲ .
13. 从轴上一点分别向函数与函数引不是水平
方向的切线和，两切线、分别与轴相交于点和点，为坐
标原点，记的面积为，的面积为，则的最小值为 ▲ ．
14. 已知对于一切x，y∈R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．
15．（本小题满分14分）
如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）
第15题图
（1）若点，求的值；
(2）若，，求.
16.（本小题满分14分）
在正三棱柱中，点是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）试在棱上找一点，使．
17.（本小题满分14分）
如图，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）.
(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆上的点到点距离的最小值为．
（1）求，的值；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆及直线分别相交于点．
①当过三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
x
y
o
D
A
B
M
N
②若，求的面积．
19.（本小题满分16分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，求证：；
（3）设， 是否存区间,使得时，的值域也是？若存在，请求出一个这样的区间； 若不存在，请说明理由．
20．已知数列满足：其中，数列满足：
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出
所有的k的取值。
附加题 部分
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知为圆O的直径，直线与圆O相切于点，直线与弦垂直并相交于点，与弧相交于，连接,,.
（1）求证：;
（2）求．
B．（选修４－２：矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．
（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程；
（2）曲线与曲线有无公共点？试说明理由．
D．（选修４－５：不等式选讲）设求的最大值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.
（1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；
（2）记“函数f(x)= x2－x-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，
求事件A发生的概率P（A）．
23．过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.
(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;
(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
高三年级市三模前模考数学答案
14. .【解析】数形结合
15. （1）由于，，所以， ，
所以， 所以 ；
（2）由于,,
所以,
.
所以，所以，
所以.
16．（1）证明：连接，交于点, 连接.
∵、分别是、的中点，
∴∥． ………3分
∵平面，平面，
∴
∥平面． ………6分
（2）为的中点． ………7分
证明如下：
∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．
∵为的中点，是的中点，∴， ………9分
∴，．
又∵，，∴
．∵是正三角形，是的中点，∴．
∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．∵平面，∴．∵，
∴平面．∵平面，
17.
18．解：（1）由已知，，且，所以，，所以，
所以，，.
（2）①由⑴，，，设．
设圆的方程为，将点的坐标代入，得
解得
所以圆的方程为，
即，
因为，当且仅当时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为．
②由对称性不妨设直线的方程为．
由得，
，，
，
化简，得，
解得，或，即，或，
此时总有，所以的面积为．
19．解：（1），
由表知道：①时，时，，
函数的单调增区间为；②时，时，，时，，
函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）证明：,
，
由表知：时，， 时，，
时，，即；
（3），，
时，， 在上是增函数，
函数存在“保值区间” 关于的方程在有两个不相等的实数根，令，则， 时，,
在上是增函数， ，且在图象不间断，
使得时，，时，，函数在上是减函数，在上是增函数，，， 函数在至多有一个零点，即关于的方程在至多有一个实数根，
函数是不存在“保值区间”．
20、解：（1）经过计算可知：
求得.…………………………………………（4分）
（2）由条件可知：.…………①类似地有：.…………②
①-②有：.即：.
因此：即：故
所以：.……………………（8分）
（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.
则由（2）可知：…………③
由，及可知.当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，，…均为整数.
当时，③变为………④
我们用数学归纳法证明为偶数，为整数
时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故
为偶数，为整数，所以时，命题成立.故数列是整数列.
综上所述，的取值集合是.………………………………………（14分
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21. A.（1）因为，所以
又是圆O的直径，所以
又因为（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以所以
又因为，所以相似
所以，即
（2）因为，所以，
因为，所以
由（1）知：～。所以
所以，即圆的直径
又因为，即
解得
B．（1）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；
（2），
椭圆在的作用下的新曲线的方程为．
C. 解：（1）由得
（2）由得曲线的普通方程为
得
解得,故曲线与曲线无公共点.
22.（1）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4．
“=0”指的是实验成功2次 ，失败2次；.
“ξ=2”指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次；
“=4”指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；
.
.
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)为.
（2）由题意知：f(2)f(3)=(3-2)(8-3)，故 .
，故事件A发生的概率P（A）为.
23.(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.
由得,设M,N的横坐标分别为,
则,得,,
而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.
代入得.设动点R的坐标,则
,因此,
故PQ中点R的轨迹L的方程为.
(2)显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点.
假设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设,则
,因为是奇素数,于是,从可推出,再由可推出
,令,则有,
由,得,于是,即
,于是,,
得,故,有,但L上的点满足,矛盾!
因此,L上任意点到原点的距离不为整数.
微信/支付宝扫码支付