2016届高三年级第九次月考数学试题（文科）
命题人：罗旭远 潘长春
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
2．设是虚数单位，则 是（ ）
A． B． C． D．
3．设命题和，在下列结论中，正确的是（ ）
①为真是为真的充分不必要条件；
②为假是为真的充分不必要条件；
③为真是为假的必要不充分条件；
④为真是为假的必要不充分条件.
A. ①② B. ②④ C.①③ D. ③④
4．已知数列是等差数列，数列的前项和为，
已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．已知， 则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．16 D．32
8．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A(0, 2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( )
A．2 B．1 C． D．
9．已知m>1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列
的前项和，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
11．已知双曲线以锐角△ABC的顶点B、C为焦点，经过点A，若△ABC内角的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12．关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．是的极小值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知平面向量,满足，且,,则向量与夹角的正切值为___________.
14．点，则的概率__________.
15．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点
都在曲线附近波动．经计算，，，则实数的值为 ．
16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分12分）
在△ABC中,角,,所对的边分别为,,c.已知，且；
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）设,求T的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照，，，，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，
， 为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20．（本题满分12分）
已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．
21．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若在处的切线与直线平行，求的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，
求证：．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑
22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，AB是圆O的直径，C、F是圆O上的两点，OC⊥AB，
过点F作圆O的切线FD交AB于点D. 连接CF交AB于点E.
（1）求证：DF=DE；
（2）若DB=2，DF=4，求圆O的面积.
23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线的方程为，点.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边平行于极轴，
求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.
24. （本题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数
（1）解不等式：
（2）若，求证：
2016届高三年级第九次月考数学（文科）试卷答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
A
C
D
A
D
A
B
D
C
13、 14、 15、 16、8
17、解：（1）,……1分
因为,所以, ……2分
所以,……4分
因为,所以,因为,所以;……6分
（Ⅱ） ……7分
……8分
……9分
因为,所以,故,……10分
因此,所以 ……12分
18. 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量， ……2分
， ……4分
． ……6分
（Ⅱ）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为 ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为:
. ……8分
其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种， ……10分
O
∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．……12分
19. 解：（Ⅰ）取中点为，连结，．
因为，所以．
又，，
所以平面，
因为平面，所以．…3分
由已知，，又，
所以，因为，
所以平面．又平面，
所以平面平面． ………………6分
（Ⅱ）三棱锥的体积=三棱锥的体积
由（Ⅰ）知，平面平面,平面平面,
, 平面
所以,即,
即点到的距离, …………………………9分
………………………… 11分
所以 ………………………… 12分
20. 解：（Ⅰ）由题意得 ………3分
所求椭圆C的方程为． …………………… 4分
（Ⅱ）设过点 的直线方程为：，
设点，点 ………5分
将直线方程代入椭圆
整理得： ……… 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且 ………7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标 ……… 8分
直线 的斜率为
……… 10分
将代入上式得：
所以为定值. ……………………………………12分
21. 解：（1）由题知的定义域为，且．
又∵的图象在处的切线与直线平行，
∴，即 解得………3分
（2），由，知>0．
①当时，对任意，在上单调递增。
②当时，令，解得，
当时，，当时，，
此时，的单调递增区间为，递减区间为 …… 7分
（3）不妨设，且，由（2）知，则
要证成立，只需证：即．
∵，，
两式相减得：，
即，
∴ ，故只需证，
即证明，
即证明，变形为，
设，令，则，
显然当时，，当且仅当时，=0，
∴在上是增函数． 又∵，
∴ 当时，总成立，命题得证．………………… 12分
22、解：略
23、解：（Ⅰ）由，
曲线C的直角坐标方程为，点的直角坐标为．………（4分）
（Ⅱ）曲线C的参数方程为，
设，
依题意可得， …………………………………（6分）
矩形BEAF的周长
， ………………………………………………（8分）
当时，周长的最小值为，
此时，点B的直角坐标为． …………………………………………………（10分）
24、解：（I）由题意，得，
因此只须解不等式 --------------------------------------1分
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即；----------------------------2分
当时，原不式等价于1≤2，即；-----------------------------3分
当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即.------------------------------4分
综上,原不等式的解集为. ----------------------------------5 分
（II）由题意得-----------------------------6分
--------------8分
-------------------------------------9分
所以成立．----------------10分
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