高二下学期期中数学试卷（理）
满分：150分 考试时间：120分钟
出卷人：高二数学备课组
一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.函数在处切线的斜率为（ ）
A.1 B. 2 C. 4 D.
3.观察下列各式：，，，...，则的末四位数字为（ ）
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
4.如果，则实数（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
5.设随机变量的分布列为，则实数的值为（ ）
A.1 B. C. D.
6.若，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.的展开式中的系数为（ ）
A.-30 B.30 C.-210 D.210
9.将5个颜色互不相同的球球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球球方法有（ ）
A.60种 B.30种 C.25种 D.20种
10.设，若，
则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.256
11.在5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子原来是同一双的可能取法种数为（ ）
A.30 B.90 C.130 D.140
12.已知函数，，若对任意给定的，关于的方程在区间上总存在两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13.曲线的斜率最小的切线方程为____________________．
14.在数字1，2，3，4，5的排列中，满足：，，，的排列个数是_________.
15.设函数，则当时，的表达式的展开式中的常数项为________.
16.对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”.请你将这一机智的发现作为条件，求：
（1）函数的图像对称中心为___________；
（2）若函数，
则___________.
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
（1）若，求实数的值；
（2）已知的展开式中的系数为-2，求实数的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线与直线垂直，且
；
（1） 求实数和的值；
（1） 求函数在区间上的最小值.
19. （本小题满分12分）
已知箱中有5个粉球和4和黑球，且规定：取出一个粉球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取得的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和.
（1） 求得分的分布列；
（2） 求得分大于4分的概率.
20. （本小题满分12分）
21. 已知数列满足，是否存在等差数列使对一切的正整数都成立？并证明你的结论.
21.（本小题满分12分）
已知，函数（其中为自然常数）.
（1）判断函数在上的单调性；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（3）若实数为正数，求证：.
四、 选做题：（请在第22-24题中任选一题做答哈~如果多做，则按所做的第一题计分，本题满分10分）
22.已知曲线在处的切线为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与曲线以及轴所围成的面积.
23.已知曲线在处的切线为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与曲线以及轴所围成的面积.
24.已知曲线在处的切线为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线与曲线以及轴所围成的面积.
高二下学期期中数学试卷答案（理科）
AACAC BDCCB CA
13. 14. 16 15. -20 16.（1,2） 2015
17.（1）（2）
18.（1）（2）
19.（1）
分布列为：
3
4
5
6
（2）
20. 存在满足题意.
（证明提示：数学归纳法、倒序相加、组合公式均可）
21. （1）①时，在上单调递增；
②时，在上单调递减；
③时，在上单调递减，在上单调递增.
（2） 利用第（1）问，易知恒成立，从而不存在；
（3） 两边取对数，再由第一问易知.
22. （1）（2）.
23. （1）（2）.
24. （1）（2）.
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