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2015-2016学年度第二学期学段检测
高一数学
本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。
，
第I卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有20 位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样的方法确定的编号可能是
A.5,10,15,20 B.2,6,10,14, C.2，4,6,8 D.5,8,11,14
2.圆与圆的位置关系是
A.相交 B. 内切 C. 相离 D. 外切
3. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本的标准差为
A. B. C.2 D.
4. 某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示，规定不低于90分为优秀等级，则该校学生优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是
A.300 B.30 C.150 D.15
5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现在从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.过点 P(4,2)做圆的两条切线，切点分别为A,B，O为坐标原点，则的外接圆方程是
A. B.
C. D.
7. 分别写上数字1,2,3,…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 阅读下边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写
A. B. C. D.
9.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距
离均超过1的概率为
A. B. C. D.
10. 已知直线l过点（0，-4），P是l上一动点，PA,PB是圆C：的两条切线，A,B为切点，若四边形PACB的最小面积为2,则直线的斜率为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共100分）
注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）
11.一副混合后的扑克牌（无大小王）共52张，从中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（）= 。（结果用最简分数表示）
12.已知圆：，与圆相交，则交点连成的直线的方程为 。
13.一束光线从点A（-1，1）出发，经x轴反射到圆C：上的最短距离为 。
14.两艘轮船要停靠同一泊位，它们可能再一昼夜的任意时刻到达，设两船停靠泊位的时间分别为1h与2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一刻时间的概率是 。
15.对任意非零实数a，b，若ab的运算规则如右图的程序框图所示，则（32）4的值是 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
求经过点A（5，2），B（3,2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程。
17. （本小题满分12分）
某市风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右图茎叶图（单位：cm）。若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以上（不包括175cm）定义为“帅精灵”。已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm。
（I） 求x，y的值；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人为“高精灵”的概率。
18. （本小题满分12分）
已知甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：
（I）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入比较稳定？
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并推测甲在6月份的纯收入；
（Ⅲ）现从乙这5个月的纯收入中随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率。
19. （本小题满分12分）
已知圆与直线2x+y-3=0交于M,N两点，O为坐标原点，问是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
20. （本小题满分13分）
在某高校自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级，某考场的两科考试成绩统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人。
（I） 求该考场考生中“阅读与表达”科目中的成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A,B,C,D,E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人 进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率。
21．（本小题满分14分）
已知圆O的方程为，直线过点A（3，0）且与圆O相似。
（I）求直线的方程；
（Ⅱ）设圆O与x轴交于P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线与于点，直线OM交直线于点，求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。
2015—2016学年度第二学期学段检测
高一数学答案
一、 选择题： ABDCC AADBD
二、 填空题：11. 12. 13. 4 14. 15.
三、解答题：
16解：设所求圆的方程为 ………2分
则 ………6分
解得 ………11分
所求圆的方程为 ………12分
17.解：（1）由题意得：
………2分
………4分
解得 ………5分
（2）由题意得“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”人数分别为
和 ………6分
记抽取“高精灵”为，抽取“帅精灵”为.从已抽取的5人中任选两人的所有可能(,) ,( ,) ,( ,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),共10种, ………8分
设选取的两人中至少有一人为“高精灵”为事件A,则事件A包括
(,) ,( ,) ,( ,),(,),(,),(,),(,),共7种 ………10分
所以 为所求. ………12分
18. 解(1) 甲的纯收入稳定 ……2分
(2), ∴=0.49……5分 , =2.33 ……6分
=0.49+2.33 ……………………………………………………………………………7分
令,得=5.27,即推测甲在6月份的纯收入为5.27千元 ……8分.
(3) 现从乙这5个月的纯收入中,随机抽取两个月的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) 共10种 ……10分.
记:恰有一个月的纯收入在区间(3,3.5)为事件A,其中,有:
(1,2),(2,3),(2,4),(2,5)共4种.
∴恰有一个月的纯收入在区间(3,3.5)的概率为 ……12分.
19. 设点,
当时，有,
(1) ……………………2分
又直线与圆相交于M、N，联立 ,
消可得：,
则有：,
，· (2) ……4分
又M、N在直线上，
故 (3) ……6分
由(1)(2)(3)得： ………………………………………………………………………10分
且检验成立 ………………………………………………11分
故存在，使OM⊥ON ………………………………………………………………12分
20. 解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有人 ……………………2分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ……………………4分
（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
……………………8分
（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则. ……………………13分
21.解：（1）∵直线过点，且与圆：相切，
设直线的方程为，即， …………………………2分
则圆心到直线的距离为，解得，
∴直线的方程为，即． …… …………………4分
（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为
解方程组,得同理可得, ……………… 10分
∴以为直径的圆的方程为，
又，∴整理得，……………………… 12分
若圆经过定点，只需令，从而有，解得，
∴圆总经过定点坐标为． …………………………………………… 14分
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