广东实验中学2015—2016学年（下）高二级期中考试
数 学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：圆的表面积公式
第一部分选择题（共60分）
一、(每题5分，共60分)
1．复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（ ）
A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法，②﹣分析法
C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣分析法，②﹣反证法
3．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（），B（），如果，那么|AB|=（ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
4．设是两个不同的平面，m是直线且m⊂，“m∥“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数，则的递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（-∞，﹣1）和（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，1）
6．已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为1，则实数t的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．﹣1
8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（ ）
A．3 B．5 C． D．
9．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．直线与曲线相切时，（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
11．如图，网格纸上的小正方形的边长为l，粗线画出的是某几何
体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
12．设函数在R上存在导数，∀x∈R，
在（0，+∞）上＜x，若．则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣2，2] B．[0，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2][2，+∞）
第二部分非选择题（90分）
二、 填空题(每题5分，共20分)
13．若复数，且|z|＜2，则实数a的取值范围是 ．
14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染
未感染
总计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
总计
30
70
100
P(
0.10
0.05
0.025
K
2.706
3.841
5.024
参照附表，在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“小动物是否被感染与没有服用疫苗有关”。
15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值是 ．
16．凸函数的性质定理为：如果函数在区间上是凸函数，则对于区间内的任意，有,已知函数在区间上是凸函数，则在中，的最大值为________．
三、解答题（共6大题，共计 70分）
17．(本小题满分12分)已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额（x）/千万元
3
5
6
7
9
利润额（y）/千万元
2
3
3
4
5
（1）画出散点图；
（2）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；
（3）若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少？
（参考公式：，其中：）
18．（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，，，矩形中DE=1，
且面面．
（1）求证：平面．
（2）求点到面的距离．
19．(本小题满分12分)设等比数列{}的前n项和为，，且，，成等差数列，数列{}满足．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a>0，b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2－1=0与以椭圆C
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．
①求k1k2的值： ②求OB2+ OC2的值．
21．（本小题满分12分）已知函数
（1）若在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a=2，求函数的极小值；
（3）若方程在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分10分）(几何证明选讲)已知AD为圆O的直径，直线BA与圆Ｏ相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12。
（1）求证：BA·DC=GC·AD；
（2）求BM。
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数学（文科）答案
1~12: ABABC BBAAD BC
13、（﹣3，1）; 14、0.05 ; 15、 16、
17、（本小题满分12分）解：（1）散点图……………3分
（2）由已知数据计算得：
，………5分
则线性回归方程为………9分
（3）将x=10代入线性回归方程中得到（千万元）………12分
18.（本小题满分12分）
（1）证明：∵四边形为正方形∴……1分
又∵平面平面，
平面平面=，……2分
∴平面………3分 ∴
又∵,∴平面………5分
（2）解：，，， 又∵ 矩形中，DE=1
∴，， …………7分
∴过B做CE的垂线交CE与M，CM= ∴……9分
的面积等于…………………10分
由得（1）平面∴点到平面的距离为………………10分 ∴∴ ∴
即点到平面的距离为．……………………………12分
19、（本小题满分12分）解：（1）记数列{an}的公比为q，由S2+，S3，S4成等差数列，
可知2S3= S2++ S4，即，………2分
又，故，从而，………4分
则，………5分
（2）当时，
所以………6分
………7分
两式相减，得：
……10分
所以……12分
20、（本小题满分12分）
x
O
F1
F2
B
C
D
解：（1）设椭圆的右焦点，则
由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长
为半径的圆的方程为， ∴圆心到直线的距离
（*）………………………2分
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，
∴,，代入（*）式得，，
故所求椭圆方程为……………………4分
（2）（i）设，则，
于是 ……8分
（ii）方法一由（i）知，，故．
所以，
即，所以，．-----------10分
又，故．
所以， ．------- 12分
方法二由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，
得．同理，．
。下同方法一
21、（本小题满分12分）
解：（1）函数
，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；
∴，-----------1分
∵，
时函数的最小值为， -------- 3分
（2）当a=2时，
令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，
解得或lnx=﹣1（舍），即 --------5分
当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为--------7分
（3）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得
整理得，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点； 9分
由（2）可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增
，当x→1时，，∴，------ 11分
实数m的取值范围为 ------12分
22．（本小题满分10分）选修4-1(几何证明选讲)
（1）证明：因为，所以
又是圆O的直径，所以………………1分
又因为（弦切角等于同弧所对圆周角）………………2分
所以∽，所以…………3分
又因为，所以。 所以，即………5分
（2）解：因为，所以，因为，所以… 6分
由（1）知：∽，所以
所以，即圆的直径………………………8分
又因为，即 ，解得．……10分
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