天津市五区县2016年高三质量调查试卷（二）
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、是虚数单位，复数=
A． B． C． D．
2、设实数满足，则的最小值为
A． B．4 C．3 D．0
3、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A．81 B．27 C．16 D．9
4、计算的值为
A．2 B．4 C．6 D．14
5、已知双曲线C的左右焦点为为双曲线右支上任意一点，若乙为圆心，以为半径的圆与以P为圆心，为半径的圆相切，则C的离心率为
A． B． C．2 D．4
6、如图，圆的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，，
若，则
A． B．
C． D．
7、设，若为真命题，则实数m的取值范
围是
A． B． C． D．
8、定义函数，设函数
函数的最大值与零点之和为
A．4 B．6 C． D．
第Ⅱ卷（满分110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..
9、某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层抽样的方法抽取
工作人员进行薪资情况调查，若管理人鱼抽取了6人，
则抽到的技师人数为
10、一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，
则此几何体的表面积为
11、等比数列的前n项乘积为，若，
则
12、在中，，且的面积为，则BC的长为
13、在极坐标系中，曲线和相交于A、B两点，则
14、已知函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分13分）
已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 的图象，求函数在上的最值.
16、（本小题满分12分）
为迎接2016年“猴年”的到来，某电视台举办猜奖获得，参与者需先后回答两道选择题：问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题有且只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1千元，正确回答B可获奖金2千元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖获得终止，假设某参与者回答问题前，选择每道题的每个选项机会是等可能的.
（1）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1千元的概率；
（2）试确定哪种回答问题的顺序能使得参与者获奖金额的期望值较大.
17、（本小题满分13分）
如图，在三棱台中，侧面与侧面是全等的直角梯形，
且，平面平面，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的余弦值.
18、（本小题满分13分）
已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的
短轴为直径的圆经过两个焦点，是椭圆C的长轴端点.
（1）求椭圆C的标准方程和圆的方程；
（2）设P、Q分别是椭圆C和圆上位于轴两侧的动点，
若直线PQ与平行，直线AP、BP与轴的交点即为M、N，
试证明为直角.
19、（本小题满分14分）
已知数列和满足：①；②昂时，若，
则，若，则.
（1）若，求的值；
（2）设，试用表示；
（3）若存在，对任意正整数，当时，恒有，求的最大值
（用表示）.
20、（本小题满分14分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，恒成立，求的取值范围；
（3）若，证明:.
天津市五区县2016年高三质量调查试卷（二）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题:
（1）—（4）DBAB （5—（8）CDAB
二、填空题:
（9）9 （10）12π+12 （11）512 （12）（13）2 （14）
三、解答题:
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得
………………2分
由周期为，得. 得 ………………4分
由正弦函数的单调递增区间得
，得
所以函数的单调递增区间是 ………………6分
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，
得到的图象，所以…………………………9分
因为，所以，故，所以函数的最大值为3，最小值为0. …………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（I）设事件C为“参与者先回答问题，且恰好获得奖金1千元”，则由题意知正确回答的概率为，正确回答的概率为,.………………………4分
（II）设参与者获得的奖金为.先回答问题时，所有可能的值为0,1,3. ……………………5分
,;;
此时数学期望为.………………………9分
先回答问题时，所有可能的值为0,2,3.…………………………10分
,;;
此时数学期望为.
所以先回答问题时该参与者获奖金额的期望值较大.………………………13分
（17）（本小题满分13分）
（I）证明:由题设知OA⊥OO1，且平面平面，平面平面，则OA⊥平面，所以OA⊥OB，OA⊥,
又因为. ,所以∠OO1B=60°，∠O1OB1=30°，
从而又因为， ,平面
平面. ………4分
（II）解：以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（3，0，0），B（0，3，0），（0，1，），O1（0，0，）.由（I）BO1⊥平面OA B1，是平面OA B1的一个法向量.且，
，设直线与平面所成的角为，则：
. …………8分
（III）由（II）知是平面OA B1的一个法向量.且，
设是平面O1A B1的一个法向量，
由得.
设二面角O—AB1—O1的大小为，
则cos，>=
即二面角O—AB1—O1的余弦值是 . …………13分
（18）（本小题满分13分）
解：（I）由椭圆定义可得，又且，解得，即椭圆的标准方程为，则圆的方程为.…………….4分
（II）是定值，证明如下：设，直线：（），令可得. …………….5分
将和（）联立可得，则，，，故，……….8分
直线的斜率为，直线：，令可得.
………….10分
设，则，由，，可得，所以，是定值. …………….13分
（19）（本小题满分14分）
（Ⅰ）当时，；…………… 4分
（Ⅱ）因为，，所以不论还是，都有，数列{}是以为首项、公比为的等比数列. ……………6分
，
即； ……………8分
（Ⅲ）因为当时，恒有，所以，，当时，恒有，且，，，解得，所以的最大值为（表示不超过的最大整数）. ……14分
（20）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）时，，.
函数的定义域为，则由得，由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
…………………………4分
（Ⅱ）由已知得.
①若在上恒成立，则恒成立，所以，.
即时，在单调递减，，与恒成立矛盾.
…………………………6分
②当时，令，得.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以.
由得，，所以.
综上，所求的取值范围是. …………………………9分
（Ⅲ）时，由（Ⅱ）得. ………………11分
令，则.
所以当时，，单增；当时，，单减.
所以. …………………………13分
所以，即. ………………………14分
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