第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）等于（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的除法运算，意在考查学生的基本运算能力.
【答案】C
【试题解析】；故选C.
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.
【答案】B
3.已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题以分段函数为载体考查指数式、对数式的运算，意在考查学生的基本运算能力.
【答案】C
【试题解析】因为，所以；故选C．
4.设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算，意在考查学生的基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】∵，∴，解得，∴，
则；故选B．
5.运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
【命题意图】本题考查程序框图中的条件结构、比较大小等知识，意在考查学生解决问题的综合能力.
【答案】C
【解析】因为，，所以，由算法框图可知，运行后输出的值为；故选C．
6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A．向右平移个单位长 B．向右平移个单位长
C．向左平移个单位长 D．向左平移个单位长
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的图象变换，意在考查学生的化简计算能力和转化能力.
【答案】A
7.已知数列满足，且，，为数列的前项和，则的值为（ ）
A. 0 B.2 C. 5 D.6
【命题意图】本题考查利用数列的递推式求通项、数列的周期性等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力.
【答案】A
【试题解析】由题意得，，，，，，∴数列是周期为6的周期数列，且；
又因为，所以，故选A．
8.“”是直线“与直线垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查直线方程的一般式、两直线垂直的判定以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】A
9.已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B． C. D.
【命题意图】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】C
【试题解析】由题意，得抛物线的焦点到到双曲线的一条渐近线的距离为，即，解得，即，即；故选C．
10.设是一个非空集合，是它的一种运算，如果满足条件：对中任意元素，，都有；对中任意两个元素，，满足．则称对于运算封闭．给出下列四个集合：
①；②；③；④．
其中，对加法运算和乘法运算都封闭的集合的个数是 （ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题以新定义为载体考查集合的运算知识，意在考查学生对新定义数学问题的理解能力和运用能力、基本运算能力．
【答案】C．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.命题“，”的否定是 .
【命题意图】本题考查全称命题的否定，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】“，”
【试题解析】命题“，”的否定是“，”．
12.在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为 .
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、旋转体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】由题意得，挖去的圆锥其半径，母线，∴该部件的表面积为．
13.已知实数满足，则的最小值为___________.
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用.
【答案】1
14. 若，且直线过点，则的最小值为 .
【命题意图】本题考查点与直线的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的基本运算能力.
【答案】
【试题解析】因为直线过点，所以，即，则（当且仅当且，
即时取“=”）．
15.设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
【命题意图】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性和不等式问题，意在考查逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】.
【试题解析】设，∴当时，，
即在上单调递增，又∵，∴的解为，
故填．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）在中，、 、分别为角 、 、 所对的边，且角为锐角，.
（I）求 的值；
（II）当 时，求及的长．
【命题意图】本题考查二倍角公式的应用、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
17. （本小题满分12分）为备战某次运动会，某市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.
（I）经过备战训练，从6人中随机选出2人进行成果检验，求选出的2人中至少有1个女运动员的概率；
（II）检验结束后，甲、乙两名运动员的成绩用茎叶图表示如下：
计算说明哪位运动员的成绩更稳定.
【命题意图】本题考查古典概型的概率、茎叶图、样本的平均数和方差的计算及应用，意在考查学生的数学知识的应用能力和基本计算能力.
18. （本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，.
（I）证明：为的中点；
（Ⅱ）已知棱锥的高为，且， 、的交点为，连接.求三棱锥外接球的体积.
【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化和在多面体和球的组合等知识； 意在考查学生的空间想象能力与运算求解能力.
19. （本小题满分12分） 已知等差数列满足，数列满足，
设，且数列为等比数列.
（I）求数列和的通项公式.
（II）求数列的前项和.
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式及分组求和法的应用等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的综合能力.
【解析】（I）设的公差为d，依题意得,
因此；设等比数列的公比为为q,
由已知有，；
从而，所以.
由已知有 ……7分
（II）因为，所以数列的前n项和
. ……12分
20.（本小题满分13分）已知函数的图象在点处的切
线方程为．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）设，且在上单调递增，求实数的最大值．
【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力.
21.（本小题满分14分）椭圆的左右焦点分别为，,且离心率
为,点为椭圆上一动点，面积的最大值为.
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点，连结, 并延长分别交直线于，两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是,请说明理由.
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.
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