第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】A
【试题解析】因为，，所以，则；故选A．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数的概念等，意在考查学生的基本计算能力.
【答案】D
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查指数不等式、对数不等式以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】B
【试题解析】，且，“”是“”的必要不充分条件；故选B．
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有
一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
【命题意图】本题以应用题为载体考查等比数列的通项和前项和公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】由题意，得每天所走路程形成以为首项，公比为的等比数列，且前六项和为378，则，解得，则，即第二天走了96里；故选B．
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．=4 B．=5 C．=6 D．=7
【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】A
6．已知圆 ，若点在圆外，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【命题意图】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】C
7．已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性的关系和数形结合思想的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】由图象单调性可得当或时，，当时，，所以的解集为；故选B．
8．已知关于的不等式组 ，所表示的平面区域的面积为16，则
的值为（ ）
A．-1或3 B．1 C．1或 D．
【命题意图】本题考查不等式组和平面区域的关系、三角形的面积，意在考查学生的数形结合思想的应用和基本运算能力.
【答案】C
【试题解析】作出可行域（如图所示），且直线可化为，即恒过点，联立，得，则的面积为，解得或；故选C．
9．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．8 D．4
【命题意图】本题主要考查茎叶图的识别、样本数据的平均数以及均值不等式求解最值等知识，意在考查学生识图能力以及基本的运算能力.
【答案】B
10．对实数和定义运算“”：设函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【命题意图】本题考查分段函数、函数的零点等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.
【答案】B
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的
体积是 .
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】
试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆的半径为，高为的半圆柱和长为，宽为，高为的长方体的组合体，所以该几何体的体积是
．
12． 具有线性相关关系的变量，满足一组数据如下表所示：
0
1
2
3
1
8
若与的回归直线方程为，则的值是 ．
【命题意图】本题考查两个变量间的线性回归关系，意在考查学生逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】4
【试题解析】由题意，，，∴样本中心点是坐标为，∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为，∴，∴；故答案为4．
13．已知整数的数对排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对是________．
【命题意图】本题考查归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】（5，7）
14．已知在中，，则的面积为 ．
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式以及两角差的正弦公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】由正弦定理得：，，因为，所以，即，所以，即，所以边上的
高是，所以的面积是，所以应填．
15．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【命题意图】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力..
【答案】
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）已知，，.
（Ⅰ）求当时，函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设的图象在轴右侧的第一个最高点的坐标为，第一个最低点的坐标为，坐标原点为，求的余弦值.
【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算、三角恒等变形、三角函数的图象与性质等知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【命题意图】本题考查等差数列的通项和裂项抵消法的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
【解答】（1）设等差数列的公差为，
∵前项和满足，，∴，
解得，.………………6分
（2），
∴数列的前项和
．………………12分
18．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用
的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用、几何概型的概率公式等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的计算能力.
(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)
设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为.………………12分
19．（本小题满分12分）如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面⊥平面，，，是线段上的动点．
（Ⅰ）试确定点的位置，使//平面，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面将几何体分成的两部分的体积之比．
【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、几何体的体积公式，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
20.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值.
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.
（Ⅱ）设，.
直线与椭圆方程联立
化简并整理得，
∴， …………………………………………8分
∴，
. …………10分
因为，∴，即，
代入，得，解得， 所以. ………………13分
21．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）当时，成立，求实数的取值范围.
【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力
微信/支付宝扫码支付