第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数的概念及复数的几何意义，意在考查学生的基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】
所以的对应点为.
故答案为B.
2. 已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.
【答案】C
3. 已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】，因此选B.
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．7
【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】C
5. 已知函数，则函数的大致图像为（ ）
【命题意图】本题主要考查了学生的识图能力以及运用数形结合的思想方法，属于中档题.解答这类问题通常用排除法，也就是通过图象的区别逐个选项排除，主要的技巧是先观察各图象的区别，确定应研究函数的奇偶性、单调性等，再利用解析式加以解决.
【答案】A
【试题解析】
通过函数解析式，可以判断函数不具备奇偶性，图象既不关于原点对称，也不关于
轴对称，排除B，C，而，排除D，故选A.
6. “”是“方程有两个负实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】A
【试题解析】
7. 函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换等基础知识，意在考查基本运算能力. 由周期确定，即由求出．常用的确定
值的方法有：（1）曲线与轴的相邻两个交点之间的距离为；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为；（4）有时还可以从图中读出或的长度来确定．
【答案】A
【试题解析】
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图识别及圆锥体的体积计算等知识，意在考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】A
【试题解析】该几何体是半个圆锥，故故答案为A.
9. 已知分别为双曲线：的左，右顶点，是上一点，且直线的斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质、直线的斜率等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.
【答案】B
【试题解析】
10. 已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，
②函数有个零点
③的解集为
④，都有，
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【命题意图】本题考查函数的单调性、函数的奇偶性、导数的应用及不等式的性质．意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.
【答案】C
【试题解析】
①函数在上的奇函数，，令，则，，故①错；②当时，，，是函数的一个零点，同理可以求出当，是函数的一个零点，函数是奇函数，，综上所述函数有个零点，故②错；由①可知函数，的解集为，故③正确；④当时，，当
时，，单增；当时，，单减；在，函数有最小值．同理在时，函数有最大值．，都有，,,故④正确．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 设向量与的夹角为，且，则________．
【命题意图】本题考查平面向量的数量积、夹角及向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力..
【答案】
12. 若，满足约束条件，则的最小值是 .
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用.
【答案】
【解析】作出不等式组所表示的平面区域及直线，如下图：
平移直线，由图可知当直线经过点时．
13. 采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，....，
600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，编号落入区间的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为
【命题意图】本题考查系统抽样方法，意在考查学生的应用意识及计算能力.
【答案】
【试题解析】分段间隔为抽到的第一个号码为003，
所以抽到的第个号码为：
因为所以第至个人做问卷C，即共人，故答案为.
14. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则 .
【命题意图】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用及基本计算能力.
【答案】
【试题解析】
15. 已知定义的上的函数满足且在上是增函数，不等式
对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【命题意图】本题主要考查的是函数的对称性、单调性及利用函数性质解决恒成立问题，涉及含参绝对值不等式的恒成立问题，最值问题，意在考查逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】
由知，函数的对称轴为，又在上是增函数，所以在上是减函数，因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，因为，所以，由函数增减性知，当时，，，所以，故答案为．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值.
【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
【答案】（1）；（2）．
【试题解析】
17.（本小题满分12分）等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其性质、裂项相消法求和等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.
【答案】（1），（2）
【试题解析】
18. （本小题满分12分）
某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段，后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；
（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在与两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段内的概率．
【命题意图】本题考查古典概型的概率、分层抽样、样本的频率分布直方图，意在考查学生的数学知识的应用能力和基本计算能力.
【答案】．
【试题解析】
（1），∴………………3分
（2）（人） ………………6分
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．
【命题意图】本题考查空间平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定等知识； 意在考查学生的空间想象能力与逻辑推理论证能力.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【试题解析】
证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）
因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（3分）
因为PC平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（5分）
（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（7分）
因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．
因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，
所以PA⊥平面BDE．…（11分）
因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（12分）
20.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：.
【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、证明不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力，以及基本运算能力.
【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.
（Ⅱ）证法一：当时，.
要证明，只需证明.……………………………………4分
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则.
设，则，
所以函数在上单调递增．…………………………6分
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.…………8分
因为时，所以，即.………………………………9分
当时，；当时，.
所以当时，取得最小值．……………………………………10分
故．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．………………………………10分
由于取等号的条件不同，
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………13分
（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）
思路3：先证明.
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．
所以．
所以．
综上可知，当时，.………………………………………………13分
综上可知，当时，．………………………………………………13分
思路2：先证明，且．……………………5分
21.（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且△面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的数量积、夹角公式、点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的数形结合思想、化归与转化思想的应用及运算求解能力.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）点在以为直径的圆外．
【试题解析】
因此，点在以线段为直径的圆外．……14分
解法二：设点，由，
∴，，……8分
∵，，
∴
，……12分
∴，又不共线，∴为锐角，……13分
因此，点在以为直径的圆外．……14分
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