第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力.
【答案】B
【试题解析】∵集合，，∴，
故选B．
2.复数（是虚数单位）的虚部为
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生的基本计算能力.
【答案】C
3.已知数列满足，且，，为数列的前项和，则的值为（ ）
A. 0 B.2 C. 5 D.6
【命题意图】本题考查利用数列的递推式求通项、数列的周期性等知识，意在考查学生的归纳推理的能力和基本计算能力.
【答案】A
【试题解析】由题意得，，，，
，，∴数列是周期为6的周期数列，且；
又因为，所以，故选A．
4.如图，程序输出的结果, 则判断框中应填
A． B．
C． D．
【命题意图】本题考查程序框图的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】B
5.函数的图象大致为（ ）
【命题意图】本题以分段函数为载体考查二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力.
【答案】C
【解析】由于时，的图象为顶点在，开口向下的抛物线的左支，故排除B、D，当时，的图象过点，且在上为减函数，排除A；故选C.
6.“”是直线“与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查直线方程的一般式、两直线平行的条件以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】D
【试题解析】“直线与直线平行”的充分必要条件是“”，即“”，所以“”是直线“与直线平行”的既不充分也不必要条件；故选D．
7.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、函数图象的平移变换等基础知识，意在考查基本运算能力.
【答案】B
8.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则．
其中假命题的个数是 （ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查空间点、线、面的位置关系等基础知识，意在考查学生空间想象能力和逻辑推理能力．
【答案】C．
【解析】若，，则或，所以①是假命题；若，，则或或，所以②是假命题；若，，则或，所以③是假命题；若，，，则，所以④是真命题．所以假命题的个数是；故选C．
9.已知的展开式中二项式系数之和是64，则它的展开式中常数项是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查利用二项式定理求二项展开式的二项式系数和、特定项；意在考查学生的基本计算能力.
【答案】D
10.已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的渐近线以及平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的数学逻辑思维能力、计算能力和解决问题的综合能力.
【答案】A
【试题解析】令点，因为该双曲线的渐近线分别是，，
所以，，
又，
所以，故选A.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知实数满足，则的最小值为___________.
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用.
【答案】1
12.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是 .
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、多面体和球的组合等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.
【答案】B
【试题解析】由三视图，得该几何体是一个三棱锥，且各顶点都在棱长为2 的正方体上，则该几何体的外接球即为正方体的外接球，则，即，则所求外接球的体积为．
13.2015年某地春季高考有10所高校招生，如果某3名同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有
种.
【命题意图】本题考查计数原理、排列组合的应用，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】
【解析】从10所高校选2所有种，再从3位同学中选2位选择2所高校的一所有，据分步乘法计数原理知，录取方式共有种.
14.设圆的半径为，圆心在射线（）上，若圆与圆相交，则圆心的横坐标的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和数形结合思想的应用.
【答案】
15.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：即在函数解析式两边求对数得：，两边对求导数，得，于是，运用此方法可以求得函数在处的切线方程是___________.
【命题意图】本题以新定义为载体考查复合函数的导数的运算、导数的几何意义等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力..
【答案】
【试题解析】，，，，由导数的几何意义，得函数在处的切线的斜率，且，所以函数在处的切线方程为，即；故填．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）在中，、 、分别为角 、 、 所对的边，且角为锐角，.
（I）求 的值；
（II）当 时，求及的长．
【命题意图】本题考查二倍角公式的应用、正弦定理和余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，.
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和.
【命题意图】本题考查利用与的关系求数列的通项、错位相减法的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和较高的计算能力.
18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
第26届亚特兰大
中国
38
51
32
28
16
俄罗斯
24
23
27
32
26
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）
甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望.
中国
俄罗斯
1
2
3
4
5
【命题意图】本题考查利用茎叶图判定样本数据的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的分类讨论能力和准确的计算能力.
（Ⅱ）的可能取值为，设事件分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则
故的分布列为
…………………10分
…………………12分
19.（本小题满分12分） 在三棱柱中，，侧棱平面，且、分别是棱、的中点，点在棱上，且.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【命题意图】本题考查空间中平行关系的转化、二面角以及空间向量在立体几何中的运用，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.
（2）建立如图所示的坐标系，
∵，，分别为，的中点，，
，，，，，设平面的法向量为，
，，，，，
不妨令，则，，∴，同理可得平面的一个法向量为，
，
∴二面角的余弦值为 …………………12分
20.（本小题满分13分）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且的周长是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆：，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.
（Ⅱ）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M与圆T相切的直线方程为，
21.（本小题满分14分）已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的最大值；
（Ⅱ）令，讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若，正实数满足，证明 ．
【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.
【解析】（Ⅰ）因为，所以，此时，
,
由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为．…………5分
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