第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【命题意图】本题考查集合的真子集的概念、方程的解法等基础知识，考查数据处理能力以及基本运算能力.
【答案】C.
【试题解析】由于，所以集合A只有一个元素，有个真子集；故选C.
2．若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【命题意图】本题考查复数的几何意义、直线方程等基础知识，考查学生的基本运算能力.
【答案】B.
【试题解析】复数z对应的点为，则有，所以；故选B.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查指数不等式、对数不等式以及充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】B
4．凸四边形中，，则该四边形的面积为（ ）
A. B. C.5 D.10
【命题意图】本题考查平面向量垂直的判定和四边形的面积等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】∵，∴，∴，故选.
5．已知随机变量服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数的图象，若
，则（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考正态分布、正态分布密度曲线和定积分的几何意义等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】A
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）
A． B．0 C． D．
【命题意图】本题考查程序框图的应用和三角函数的周期性，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】B
【试题解析】由框图知输出的结果，因为函数的周期是6，所以，故选B.
7．已知满足约束条件，若的最大值为4，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【命题意图】本题考查简单的线性规划和数形结合思想的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力.
【答案】B
8．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），
则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题以新定义为载体考查不足近似值或过剩近似值等基础知识，意在考查学生的审题能力和基本运算能力.
【答案】A
【试题解析】令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第二次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即；第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即第四次用“调日法”后可得的近似分数为；故选A．
9.已知双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么（ ）
A．21 B．14 C．7 D．0
【命题意图】本题考查双曲线的定义和几何性质、抛物线的几何性质和平面向量的数量积等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力.
【答案】B
10．设函数在R上存在导数，，有 ，在上，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查函数的性质的应用以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力.
【答案】B
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．命题“，”的否定是 ．
【命题意图】本题考查全称命题的否定，意在考查学生的逻辑思维能力.
【答案】“，”
【试题解析】命题“，”的否定是“，”．
12．已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的
体积是 .
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、组合体的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.
【答案】
【试题解析】由三视图，知该几何体是由底面圆的半径为，高为的半圆柱和长为，宽为，高为的长方体的组合体，所以该几何体的体积是．
13．甲、乙等五人排成一排，甲不排两端，且乙与甲不相邻，符合条件的不同排法有 种．（用
数字做答）
【命题意图】本题考查排列组合应用题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】
14．已知在中，，则的面积为 ．
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式以及两角差的正弦公式的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】
15．已知数列满足，，则的最小值为 ．
【命题意图】本题考查利用数列的递推式求数列的通项公式以及利用基本不等式求最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、基本运算能力和解决问题的综合能力.
【答案】
【试题解析】因为数列满足，，
所以
则，当时，，当时，
，所以的最小值为；故填．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为．
（Ⅰ）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
（Ⅱ）在分别是的对边，若，，求的值．[Z-x-x-k.Com]
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换以及余弦定理的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
（Ⅱ）由，可得，
则 ， …………………………………7分
化简得， …………………………………8分
…………………………………9分
， …………………………………10分
又，，由余弦定理可得
， …………………………………11分
. …………………………………12分
17．（本小题满分12分）已知正项数列、中，，，成等比数列，成等差数列，
（Ⅰ）证明是等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）令，前项和为，求使的最大自然数．
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项和前项和公式以及数学归纳法、裂项抵消法的应用，意在考查学生分析问题、解决问题的能力和基本的计算能力．
当时，，也成立，
所以，，所以是首项为1、公差为1的等差数列；………6分
（Ⅱ）因为，
所以．
因为，所以，即，所以使的最大
自然数为2015． ………………12分
18．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用
的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女
生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【命题意图】本题考查独立性检验思想的应用、几何概型的概率公式、超几何分布的分布列和期望等知识，意在考查学生的应用数学能力和准确的计算能力.
(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；
两人都被抽到有种
可能取值为，，，
1
的分布列为：
.………………12分
19．（本小题满分12分）在三棱柱中，，，
，与相交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用以及同角三角函数基本关系式等知识，意在考查学生的空间想象能力和严密的逻辑推理能力.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，建立如图空间直角坐标系
易得，故是平面的一个法向量
设是平面的一个法向量
令，则，故
设二面角为，则
.………………12分
20.（本小题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，成立，求实数的取值范围.
【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生的化归与转化思想的应用、运算求解能力.
∴函数为增函数，∴，
故对，成立. …9分
②当时，，由时，
，
当知，即，
∴函数，为减函数，
∴当时，，
从而，这与题意不符， …11分
综上，对，成立时，实数的取值范围为. …13分
21．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于，两点.
（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合)，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系以及对称问题，意在考查学生逻辑推理能力和分析问题、解决问题的综合能力.
（Ⅱ）（i）设，.
直线与椭圆方程联立
化简并整理得，
∴， …………………………………………6分
∴，
.
因为，∴，即，
代入，得，解得， 所以. ………………8分
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