第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，图1中阴影部分所表示的集合为
（ ）
A． B． C． D．
2.已知命题；命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3.设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
4.等差数列中，，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．4 B．5 C． D．
6.函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
7.已知点是曲线上一动点，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
9.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．115 B．116 C．125 D．126
10.在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
11.在六条棱长均相等的三棱锥中，已知分别是棱的中点，则下列结论中：
①；②平面；③；④平面平面，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.已知函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.定义在上的偶函数在上递减，，则满足的的取值范围是
.
14.若变量满足约束条件，则的最大值为 .
15.设为数列的前项和，，，则 .
16.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：），则这个四棱锥的外接球的表面积是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数的部分图象如图3所示.
（1）求的表达式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18. （本小题满分12分）
如图4，已知三棱柱的所有棱长都是2，且.
（1）求证：点在底面内的射影在的平分线上；
（2）求棱柱的体积.
19. （本小题满分12分）
为了了解网购是否与性别有关，对50名青年人进行问卷调查得到了如下的统计表：
喜爱网购
不喜爱网购
合计
女
20
5
25
男
10
15
25
合计
30
20
50
（1）用分层抽样的方法在喜爱网购的人中抽6人，其中抽到多少名女性？
（2）在上述抽到的6人中选2人，求恰好有一名男性的概率.
20. （本小题满分12分）
如图5，点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线和半径相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）已知直线与点的轨迹交于点，且直线的方程为，若为坐标原点，求的面积的最大值.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使函数在上有最小值1？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图2，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，.
（1）证明：；
（2）当，时，求的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的极坐标方程为，经过点的直线的参数方
程为（为参数）.
（1）写出圆的标准方程和直线的普通方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求的值.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的表达式的解集，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
BCACB ADADC CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由题意可得：，，
因此，又，
即，而，
故，
故.
（2）由（1）可知：，
由，则，
最大值为，最小值为-2.
同理，过作，连接，
则.
∵，，
∴，
∴≌，∴，
∴是的角平分线，
即点在底面内的射影在的平分线上.
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，
∴，
∴三棱柱的体积为.
19.解：（1）因为从喜欢网购的共30人中抽6人，抽取比例为，
而女性共有20人，所以女性抽到4人.\
（2）记6人中，女性为，男性为，
所有的可能为,
共有15种不同的抽法，
而恰好有一名男性有，共8种不同的方法，所以恰有一名男性的概率为.
20．解：（1）如图，∵是线段的垂直平分线，∴，
∵，∴，
由椭圆定义知：点的轨迹是以，为焦点，
长轴长，短轴长的椭圆，
其轨迹方程为：.
（1）联立，整理得：，
解得：或.
∵，
∴，
原点到直线的距离为.
∴，
当且仅当，即时，面积的最大值为.
21.解：（1）∵，
∴，
又∵曲线在点处的切线平行于直线，
∴.
∴,
∴的单调增区间为，单调减区间为.
（2）∵，∴，
（ⅰ）当时，恒成立，即在上单调递增，无最值，与题意矛盾，
（ⅱ）当时，令，，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
①若，如图2甲所示，则在上的最小值是，
由，得，矛盾；
②若，如图乙所示，则在上的最小值是，
由，得，符合题意.
综上可知，存在，使函数在上有最小值1.
22．（1）证明：如图2，连接，
∵四边形是圆的内接四边形，∴，
又∵，∴∽，∴.
∵，∴，
又∵是的平分线，
∴，∴.
（2）解：由题意知：，设，
根据切割线定理得：，
即，∴，
即或（舍），
即.
23．解：（1）∵，∴，
∴圆的标准方程为，
由（为参数）消去参数得的普通方程为.
（2）可化为（为参数），
将代入，得：，
即，
，∴.
24.（1）由题意得：，
则不等式等价于或，
解得：或，
∴不等式的解集.
（2）∵，
∴的值域为，
∴的解集.
要，需，即或，
∴或，
∴实数的取值范围是或.
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