江苏省八校2015-2016学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含答案.doc

www.ks5u.com ‎2015—2016学年第二学期高二数学期中试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．‎ ‎1.设复数z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），若zi＝1－2i，则a＋b＝ ．‎ ‎－3‎ ‎2.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为 ．‎ ‎．‎ ‎12.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．‎ A O ‎13.已知圆C：，点在直线上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使，则的取值范围是 ．‎ ‎14.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本题满分14分)‎ 已知z∈C ，和都是实数．‎ ‎(１）求复数；‎ ‎(２）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（１）设 a，b∈R，‎ ‎ 则，‎ ‎ ，‎ ‎ ∵和都是实数，‎ ‎ ∴，解得，‎ ‎ ∴． ……………………………… 7分 ‎ (２）由（１）知，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∵在复平面上对应的点在第四象限，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 即，∴，‎ ‎ ∴，即实数的取值范围是． …………………………… 14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ A ‎ F ‎ C ‎ B ‎ D ‎ C ‎ B ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ E ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ A ‎ 在直三棱柱ABC - A1B‎1C1中，AB = AC = AA1 = ‎3a，‎ BC = ‎2a，D是BC的中点，E，F分别是A‎1A，C‎1C上一点，‎ 且AE = CF = ‎2a．‎ ‎（1）求证：B‎1F⊥平面ADF；‎ ‎（2）求证：BE∥平面ADF．‎ ‎【答案】（1）证明：∵AB = AC，D为BC中点，∴AD⊥BC． ‎ 在直三棱柱ABC - A1B‎1C1中，‎ A ‎ F ‎ C ‎ B ‎ D ‎ C ‎ B ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ E ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ A ‎ M ‎ ‎∵B1B⊥底面ABC，AD底面ABC，∴AD⊥B1B． ‎ ‎∵BCB1B = B，∴AD⊥平面B1BCC1．‎ ‎∵B‎1F平面B1BCC1，∴AD⊥B‎1F． ‎ 在矩形B1BCC1中，∵C‎1F = CD = a，B‎1C1 = CF = ‎2a，‎ ‎∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1．‎ ‎∴ÐCFD = ÐC1B‎1F．∴ÐB1FD = 90°．∴B‎1F⊥FD．‎ ‎∵ADFD = D，∴B‎1F⊥平面AFD．………………… 7分 ‎ ‎（2）连EF，EC，设，连，‎ ‎，∴四边形AEFC为矩形，为中点．‎ 为中点，． ‎ 平面，平面，‎ 平面…………………………… 14分 ‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶 图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.‎ ‎(1）求和的值；‎ ‎(2）计算甲班7位学生成绩的方差； ‎ ‎(3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.‎ ‎【答案】 (1）∵甲班学生的平均分是85，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. …………………3分 ‎ ∵乙班学生成绩的中位数是83，‎ ‎ ∴.………………… 5分 ‎ (2）甲班7位学生成绩的方差为 ‎.………………… 9分 ‎(3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，‎ ‎ 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. ‎ ‎ 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况： ‎ ‎ . …………………11分 ‎ 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：‎ ‎ . ………………… 13分 ‎ ‎ 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则.‎ 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……… 15分 ‎18.（本小题满分15分）‎ 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．‎ ‎ (1）求直线与圆相切的概率；‎ ‎（2）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．‎ ‎【答案】(1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．‎ ‎∵直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是 即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝‎ ‎∴满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况． ‎ ‎∴直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的概率是 ………………… 7分 ‎ ‎(2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．‎ ‎∵三角形的一边长为5‎ ‎∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种 ‎ 当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 ‎ 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 ‎ 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 ‎ 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），‎ ‎（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 ‎ 当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 ‎ 故满足条件的不同情况共有14种 ‎ 答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．………………… 15分 ‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝，短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．‎ ‎ ①试用x0，y0表示点P，Q的坐标；‎ ‎②求证：点M始终在一条定直线上．‎ ‎【答案】（1）由得 ∴椭圆C的方程为；………………… 4分 ‎（2）A1（－2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，‎ 即．代入，‎ 得，即．∴=，‎ 则=．‎ 即P（，）．…………………7分 同理MA2的方程为， 即．代入，‎ 得，即．‎ ‎∴=． 则=．‎ 即Q（，）．………………… 10分 ‎∵P，Q，B三点共线，∴，即．‎ ‎∴．即．‎ 由题意，，∴．‎ ‎．‎ ‎∴．则或．‎ 若，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．‎ ‎∴，点M始终在定直线上．………………… 16分 ‎20.（本小题满分16分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数为奇函数，求b的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，函数在的值域为，求的零点；‎ ‎（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】：（1）恒成立，则b=0；………………… 3分 ‎ （2）‎ ① 若，则恒成立，则单调递减，又函数在的值域为，‎ ‎，此方程无解．………………… 5分 ② 若，则．‎ ‎（i）若，即时，函数在单调递增，，此方程组无解；‎ ‎（ii），即时，，所以c=3；…… 6分 ‎（iii），即时，，此方程无解．‎ 综上，所以c=3．…………………8分 的零点为：．………………… 10分 ‎（3）由题意可得:记恒成立．‎ 若，则三次函数至少有一个零点，且在左右两侧异号，‎ 所以原不等式不能恒成立；‎ 所以，此时恒成立等价于：‎ ‎1）b=c=0或者2）．‎ 在1）中， ， 在2）中,‎ 所以，即恒成立．‎ ‎．‎ 综上：的取值范围是．………………… 16分