第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，设是虚数单位），若复数对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
3.某公司有员工人，其中不到岁的有人，岁的有人，岁以上的有人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ）
A．人，人，人 B．人，人，人
C．人，人，人 D．人，人，人
4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列中，，，若是等差数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
9.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，现过点作直线的垂线，垂足为，若直线为坐标原点）的斜率为，则该椭圆的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，左视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数为自然对数的底数），函数满足，其中分别为函数和的导函数，若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设正项数列是等比数列，前项和为，若，则公比为______.
14.已知函数则函数的值域为______.
15.已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为______.
16.已知正项数列中，，且成等差数列，则的最小值为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若角，边上的中线，求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面，，且.
（1）求棱与所成的角的大小；
（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.
19.（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为配方和配方）做实验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）
配方的频率分布表
指标值分组
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
频数
10
30
40
20
配方的频率分布表
指标值分组
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
频数
5
10
15
40
30
（1）若从配方产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的配方产品中至少件为二级品”为事件，求事件的概率；
（2）若两种新产品的利润率与质量指标值满足如下关系：（其中），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
20.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知曲线由圆弧和圆弧相接而成，两相接点均在直线上，圆弧的圆心是坐标原点，半径为，圆弧过点.
（1）求圆弧的方程；
（2）曲线上是否存在点，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数的取值集合；
（3）当时，对任意的，求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点.若，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是.设直线与轴的交点是曲线上一动点，求的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围.
参考答案
1.C ，，则=.
4.A 送卡方法有：（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁、乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以概率为.
5.D 当时，，所以点在函数的图象上.
6.D 据程序框图可得当时，；时，，应填入.
7.A 画出函数的草图（图略），分析知的取值范围为[，].
8.A 记，则，数列的公差为，∴，
即，∴，故.
9.C 直线的方程是，的方程为，联立解得点坐标为
，直线的斜率为，由得，解得.
10.D 以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.
所以当时有最小值.
11.C 利用正方体模型，如图，易得的面积最大.
12.B ，所以函数，
因为在上是单调函数，则当时，恒成立或恒成立.又因为，所以当时，恒成立必定无解.所以必有当时，恒成立，设，当时，成立；当时，由于在上是单调递增，所以得；当时，由于在在上是单调递减，所以得.
综上：.
13. ,解得或，又，所以.
14. 当时，由；当时，由，所以函数的值域为.
15. 如图，，则，即，由，得，则.
16. 令，，则，即，所以，又，
所以.（当且仅当时，取“=”）.
17.解：（1）由正弦定理及得，
整理得，（4分）
又，所以又，所以.（6分）
（2）由知，中，由余弦定理得，
求得，（10分）
所以的面积.（12分）
18.解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
，，（3分）
∴，故与棱所成的角是.
（2）为棱上一点，设，则，
设平面的法向量为，，
则，则，（9分）
而平面的法向量是，
∴，解得，
即为棱中点，其坐标为.（12分）
19.解：（1），，.
（2）的分布列为
y
t
P
0.6
0.4
∴.（7分）
的分布列为
y
t
P
0.7
0.25
0.05
∴.（10分）
∵，∴，∴较大，投资平均利润率较大.（12分）
20.解：（1）圆弧所在圆的方程为，令，解得，
则直线的中垂线方程为，令，得圆弧所在圆的圆心为，
又圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的方程为.（6分）
（2）假设存在这样的点，则由，得.（8分）
由，解得（舍去），
由，解得，
综上知的，这样的点存在个.（12分）
21.解：（1），
当时，，减区间为；
当时，由得，由得，
∴递增区间为，递减区间为.（3分）
（2）由（1）知，当时，在上为递减，而，
∴在上不可能恒成立；
当时，在上递增，在上递减，
，令，
依题意有，而，且，
∴在上递减，在上递增，∴，故.（7分）
（3）由（2）知：时，恒成立，所以有.
则，（9分）
又由知在上恒成立，
∴.（11分）
综上所述：对任意的，有.（12分）
22.解：连接，设交于点.
因为，所以.又因为，
所以，所以.
又因为，且，所以.
所以四边形为平行四边形，所以.（5分）
由，设，则，又，
所以，所以.
因为，所以.（12分）
23.解：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为，半径.（3分）
直线的直角坐标方程，令，得，即点的坐标为.（6分）
从而，所以，即的最大值为.（10分）
24.解：（1）当时，不等式为，∴或，
∴不等式解集为.（3分）
（2）不等式的解集为，即恒成立，
∵，（6分）
∴，∵，∴，
∴实数的取值范围为.（10分）
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