高三数学（文）
第Ⅰ卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
2、本卷共8题，共40分。
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知集合，则
A． B．
C． D．
2、已知抛物线上一点的横坐标为3，且满足，
则抛物线的方程为
A． B． C． D．
3、某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为
A． B． C． D．
4、函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
5、“”是“”成立的
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件
6、函数，将函数的图象上向右平移个单位重复，得到函数的图象，则在区间上的最小值为
A．0 B． C．-1 D．
7、已知双曲线，以C的右焦点为圆心，以为半径的圆与C的一条渐近线交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
8、已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是减函数，
记，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项；
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2、本卷共12题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。.
9、已知是虚数单位，则
10、若直线过点且与直线垂直，则直线的方程是
11、设，则不等式的解集为
12、如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为
13、如图，已知圆内接四边形，边延长线交延长线于点，连接，
若，则
14、矩形中，，点E在BC上，满足，点F在CD上，若，则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分13分）
在钝角中，内角所对的边分别为，已知。
（1）求边和角的大小；
（2）求的值。
16、（本小题满分12分）
某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间及各设备限制最长使用时间如下表：
设计划每天生产Ⅰ的数列为（件），产品Ⅱ的数列为（件）
（1）用列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）已知产品Ⅰ每件例如2（万元）产品Ⅱ每件利润3（挖暖），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在明天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润。
17、（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，，点是PC的中点，且平面平面。
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）若，
求异面直线与所成角的余弦值。
18、（本小题满分13分）
设椭圆，过点，右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线分别交轴，轴于C、D两点，且与椭圆C交于M、N两点，
若，求的值，并求出弦长。
19、（本小题满分14分）
已知数列是等差数列，，其前n项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项及前n项和；
（2）若，数列的前n项和为，证明：；
（3）若，数列的前n项和为，证明：对。
20、（本小题满分14分）
已知函数。
（1）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；
（2）若函数在处的切线的斜率为1，
存在，使得成立，求实数的取值范围。
（3）若，求在上的最小值及相应的的值。
高三数学（文）2016、05
一、选择题：每小题5分，共40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
D
C
A
B
二、填空题：每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
3
三、解答题：共6小题，共80分．
（15）（本小题满分13分）
在钝角中，内角所对的边分别为，已知，．，
（Ⅰ）求和角的大小；
（Ⅱ）求的值．
（Ⅰ）因为，．，所以-------2分（公式1分，结论1分）
解：由余弦定理知：，故.------4分（余弦定理1分，结论1分）
由正弦定理知：，，-------6分（正弦定理1分，结论1分）
因为钝角，，所以为钝角，故.----------------------------------7分
（Ⅱ）
------------------------------------13分（两角差公式、正余弦二倍角公式各1分，结论共1分，两个特殊角共1分，结论1分，共6分）
（16）（本小题满分13分）
某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表：
设备
产品Ⅰ每件需要加工时间
产品Ⅱ每件需要加工时间
设备最长使用时间
A
2小时
2小时
12小时
B
1小时
2小时
8小时
C
4小时
0小时
16小时
D
0小时
4小时
12小时
设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件），
（Ⅰ）用，列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）已知产品Ⅰ每件利润（万元）产品Ⅱ每件利润（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润.
解：（Ⅰ）产品Ⅰ的数量为，产品Ⅱ的数量为，
，所满足的数学关系式为：，即----------------3分（对2个给1分，3个给2分）
画出不等式组所表示的平面区域，即可行域（图中阴影部分）
------------------------------------------------------7分（画直线共2分，阴影2分）
（Ⅱ）设最大利润为（万元），则目标函数，
将变形，这是斜率为，随变化的一组平行直线，是直线在
轴上的截距，当取得最大值时，的值最大，又因为，所满足的约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，联立方程组：得点坐标为，此时.
所以，每天安排生产件产品Ⅰ，件产品Ⅱ，会使利润最大为（万元）------13分（目标函数2分，过程解释几何意义，定位、解方程组各1分，答话1分）
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，,点是的中点，且平面平面.
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)证明：平面平面；
（Ⅲ）若，，求异面直线与所成角的余弦值．
解：(Ⅰ)设，是平行四边形，故为
中点。连结， 因为点是的中点，
所以-----------------2分（辅助线1分，平行1分）
平面,平面
所以平面----------3分
(Ⅱ) 因为平面平面,
故平面，-----------4分
又平面
所以,---------------------5分
而底面是菱形，故-------6分
又
所以平面------------------------7分
平面，
所以平面平面.----------------8分
（Ⅲ）由(Ⅰ)因为，故为异面直线与所成的角，-------9分
由已知，，底面是菱形
故，
所以在直角三角形中，，故，
取中点，则，平面，
在直角三角形中，，，故,-------------11分
所以，在三角形中，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．----------------------13分
（18）（本小题满分13分）
设椭圆，过点，右焦点,
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线（）分别交轴，轴于两点，且与椭圆交于两点，若,求值,并计算弦长.
解：（Ⅰ）因为过点，故有，--------1分
由已知
联立解得：，所以椭圆的方程为．---5分（abc关系1分，解得结果各1分，方程1分）
（Ⅱ）直线与轴交点， 轴交点
联立消元得：①------------------6分
设，则------------------------------------------7分
，， -------------------------------------8分
由得：，解得：．------------------9分
由得代入①
得：
，，---------------------------------------------------------------10分
--------------------------13分（公式2分，结论1分）
（19）（本小题满分14分）
已知数列是等差数列，，其前项为（）．且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项及前项和；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，证明：；
（Ⅲ）若，数列的前n项和为，证明：对，．
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由和成等比数列，得
(2＋3d)2＝2(12＋10d)，-----------------1分
解得d＝2或.
当时，与成等比数列矛盾，舍去．
所以d＝2，------------------------------2分
所以即数列的通项公式为---------3分
-------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ），故--------------------------6分
------------------8分
所以成立.-----------------------------------------------------9分
（Ⅲ）由，得，
因为，-----------------------------------------10分
-------------------11分
--------------------------------------------------12分
又，
所以递增，对，
故，对有-----------------------------------------------------------------14分
（20）（本小题满分14分）
已知函数，（）
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，存在，使得成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 若，求在[1,e]上的最小值及相应的值.
解：（Ⅰ）因为，①，②。
由①②解得：，.------------------------------2分
此时，，
（0，1）
1
（1,2）
2
（2，+∞）
-
0
+
0
-
减
极小
增
极大
减
所以，在取得极小值，在取得极大值----------------4分
（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，则，则
故----------------------------------------------------------------------5分
若成立，则成立，
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即．
因而()．----------------------------------6分
令（），又，
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数．---------8分
故的最大值为，所以实数的取值范围是．--------9分
(Ⅲ) ，
当，.
若，在上非负（仅当，时，），故函数在上是增函数，此时．-----------------------------------10分
若，
当时，；
当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数．
故．--------------------------------11分
若，在上非正（仅当，时，），故函数在上是减函数，此时．-----------------------------12分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的值为1；
当时,的最小值为,相应的值为；
当时，的最小值为，相应的值为．------------------14分
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