高三数学（文）
第Ⅰ卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
2、本卷共8题，共40分。
一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知集合，则
A． B．
C． D．
2、若实数满足，则目标函数的最大值为
A．0 B． C．12 D．20
3、某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为
A． B． C． D．
4、下列结论中，正确的是
A．“”是“”成立的必要条件
B．已知向量，则“”是“”的充要条件
C．命题“”的否定形式为“”
D．命题“若，则”的逆否命题为假命题
5、已知双曲线，以C的右焦点为圆心，以为半径的圆与C的一条渐近线交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．
6、钝角中，内角所对的边分别为，已知，则的面积等于
A． B． C． D．
7、若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8、已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是减函数，
记，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项；
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2、本卷共12题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。.
9、已知，是虚数单位，若，则
10、设变力作用下在质点上，使沿轴正向从运动到，已知且方向和轴正向相同，则变力对质点M所做的功为 的单位：；力的单位N）
11、在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），直线与抛物线相交于两点，则线段的长为
12、如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为
13、如图，已知圆内接四边形，边延长线交延长线于点，连接，
若，则
14、矩形中，，点E在BC上，满足，点F在CD上，
若，则
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分13分）
已知.
（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；
（2）若，求的值。
16、（本小题满分13分）
甲乙两队参加听歌猜歌名的游戏，每队3人，随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一份，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否互相之前没有影响。
（1）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（2）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）求两队得分之和大于4的概率。
17、（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，，其前n项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项及前n项和；
（2）若数列满足，计算的前n项和为，并用数学归纳法证明：
当时，。
18、（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是边长为2的等边三角形，点是PC的中点，且平面平面。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若点F在PC边上运动，是否存在点F使平面BFD与
平面APC所成的角为？若存在，则求出点F的坐标，
并说明理由。
19、（本小题满分14分）
设椭圆，过点，右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线分别交轴，轴于C、D两点，且与椭圆C交于M、N两点，
若，求的值，并求出弦长；
（3）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆的两条切线切点分别为，若直线在轴，上的截距分别为，证明；。
20、（本小题满分14分）
已知函数。
（1）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；
（2）若函数在处的切线的斜率为1，
存在，使得成立，求实数的取值范围。
（3）若，求在上的最小值及相应的的值。
高三数学（理）2016、05
一、选择题：每小题5分，共40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
B
C
B
D
二、填空题：每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
78
3
三、解答题：共6小题，共80分．
（15）（本小题满分13分）
已知
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间的最大值；
(Ⅱ)若．，求的值
解 (Ⅰ)∵f(x)＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin（余弦二倍角1分两角和公式1分，特殊角函数值1分）-----------------------------------------------------------------------3分
∴，
∴最小正周期为π，--------------------------------------------------------------------------------------5分
∵x∈，故单调增，单调减
∴sin∈，
所以f(x)在区间的最大值是1.--------------------------- (单调性1分，最大值1分)---7分
(Ⅱ)∵，，∴，又
所以，故---------------（判断区间1分，结论1分）--9分
所以
--------------（变形，公式、特殊角、结论各1分）-------13分
（16）（本小题满分13分）
甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ) 若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（Ⅱ）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．
解：(Ⅰ) 6个选手中抽取两名选手共有种结果，
抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：种结果，
用表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”
.-----------------------------（公式2分，结论1分）-----------3分
故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为.
(Ⅱ)解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且
P(＝0)＝C×＝，
P(＝1)＝C××＝，
P(＝2)＝C××＝，
P(＝3)＝C×＝.
所以的分布列为
0
1
2
3
P
-----------------------7分
的数学期望E()＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.----------------------------9分
解法二：根据题设可知～B，
因此的分布列为
P(＝k)＝C××
＝C×，k＝0，1，2，3.
因为～B，所以E()＝3×＝2.
（Ⅲ）用表示事件:两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，
用表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分。
-----------------------------11分
用表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分
-----------------------------------------------------------12分
------------------------------------------------------13分
所以两队得分之和大于4的概率为．
（17）（本小题满分13分）
已知数列是递增等差数列，，其前项为（）．且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项及前项和；
（Ⅱ）若数列满足，计算的前项和，并用数学归纳法证明：当时，，．
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由和成等比数列，得
(2＋3d)2＝2(12＋10d)，-----------------2分
解得d＝2或.
当时，与成等比数列矛盾，舍去．
所以d＝2，------------------------------3分
所以即数列的通项公式为---------4分
-------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ），----------------------------------------------6分
---7分
要证，即证明：
当时，
假设当时，成立，
则时，-------------------------------------------10分
而
因为，所以，
故．----------------------------------------------12分
综上得当时，，．----------------------------------------------13分
（18）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是边长为的等边三角形，点是的中点，且平面平面.
(Ⅰ) 求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅱ) 若点在边上移动，是否存在点使平面与
平面所成的角为？若存在，则求出点坐标，否则
说明理由．
(Ⅰ) 因为平面平面，底面是菱形，，故
取中点，则，
以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，--------2分
，,,
,,-----------------------------（对5个也给1分）-3分
(Ⅰ) ，，
则，，-----5分
设异面直线与所成角为,-----6分
所以异面直线与所成角的余弦值为
(Ⅱ)设存在点，使平面与平面所成的角为，
设，因为三点共线， ，----------------------------7分
，
所以，，，---------------------------8分
设平面的一个法向量为，
令，.-----------------------9分
设平面的一个法向量为，
令，.,-------------------------------10分
又
若平面与平面所成的角为，则
故-即-------------------------------------------------------------------------------12分
，此时，点在延长线上，
所以，在边上不存在点使平面与平面所成的角为----------13分
（19）（本小题满分14分）
设椭圆，过点，右焦点,
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线分别交轴，轴于两点，且与椭圆交于两点，若,求值；
（Ⅲ）自椭圆上异于其顶点的任意一点,作圆的两条切线切点分别为,若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明： ．
解：（Ⅰ）因为过点，故有，由已知
联立解得：，所以椭圆的方程为．---4分
（Ⅱ）直线与轴交点， 轴交点
联立消元得：
设，则
，，
由得：，解得：．----------------------------------9分
（Ⅲ）因为为切点，所以,,所以四点共圆，----10分
其圆心，方程为：
整理得：-----------------------------------------------------------------11分
是圆与圆的交点，联立得，-------12分
得，因为在椭圆上，则
整理得：。----------------------------------------------------------------------------14分
（20）（本小题满分14分）
已知函数，（）
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，存在，使得成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 若，求在[1,e]上的最小值及相应的值.
解：（Ⅰ）因为，①，②。
由①②解得：，.------------------------------2分
此时，，
（0，1）
1
（1,2）
2
（2，+∞）
-
0
+
0
-
减
极小
增
极大
减
所以，在取得极小值，在取得极大值----------------4分
（Ⅱ）若函数在（）处的切线的斜率为，则，则
故----------------------------------------------------------------------5分
若成立，则成立，
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即．
因而()．----------------------------------6分
令（），又，
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数．---------8分
故的最大值为，所以实数的取值范围是．--------9分
(Ⅲ) ，
当，.
若，在上非负（仅当，时，），故函数在上是增函数，此时．-----------------------------------10分
若，
当时，；
当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数．
故．--------------------------------11分
若，在上非正（仅当，时，），故函数在上是减函数，此时．-----------------------------12分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的值为1；
当时,的最小值为,相应的值为；
当时，的最小值为，相应的值为．------------------14分
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