2015—2016学年度第二学期期中六校联考
高二数学（理）试卷
命题人： 宝坻一中 静海一中
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知 ，其中i为虚数单位，则=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
2．若,则等于 （ ）
A． B． C． D．
3．下列推理是归纳推理的是 （ ）
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=（>|AB|）,则P点的轨迹为椭圆
B.由,求出,猜想出数列的前n项和的表达式
C.由圆的面积,猜想出椭圆的面积
D.以上均不正确
4．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知复数（为虚数单位）为实数，则
的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知R上可导函数的图像如右图所示，
则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，
，则关于的函数的零点的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．0或2
二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）
9．求曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______．
10．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝
11．若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为
12．设，若在(，＋∞)上存在单调递增区间，则的取值范围为________．
13．函数与 在区间上都单调递减，则实数的取值范围是___________．
14．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为_______.
三、解答题（共6道题，共80分）
15．（本小题13分）当时，，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想与的关系，并用数学归纳法证明．
16. （本小题13分）已知函数在处取得极值为
(1)求的值;(2)若有极大值28,求在上的最小值.
17．（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；
（Ⅱ）当﹣1＜＜0时，有＞1+恒成立，求的取值范围．
18．（本小题13分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，证明：对任意，，．
19．（本小题14分）已知函数.
(1)若函数在上的最大值为-3；求的值；
（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。
20．（本小题14分）已知函数，（为常数）.
（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；
（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.
2015—2016学年度第二学期期中六校联考
高二数学答题纸(理)
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）：涂写在答题卡上
二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题（共6道题，共80分）
15. （本小题13分）
16. （本小题13分）
17．（本小题13分）
18．（本小题13分）
19．（本小题14分）
20．（本小题14分）
2015—2016学年度第二学期期中六校联考高二数学（理）试卷答案
1、B 2、A 3、B 4、D 5、 6、B 7、D 8、A
9、 10、 11、-5 12、 (－，＋∞) 13、 14、
15、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．
试题解析：（Ⅰ），
， …4分
（Ⅱ）猜想： …5分
即：（）下面用数学归纳法证明
① 时，已证 …6分
② 假设时，，即：
…7分
则 …9分
…12分
由①，②可知，对任意，都成立． …13分
16、答案： (1) (2)在上的最小值为
试题解析:(1)∵,∴ …1分
又∵在处取得极值,∴且,…2分
即且, …4分
解得:. …5分
(2)由(1)得:,,
令,解得:, …7分
单增
极大值
单减
极小值
单增
…9分
∴函数在处有极大值,且,
∴, …11分
此时,,
在上的最小值为. …13分
17、【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）（﹣1，0）
解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．…1分
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1． …2分
∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，
而f（1）=，f（）=，f（e）=， …4分
∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=． …5分
（Ⅱ）当﹣1＜a＜0时，x∈（0，+∞）．…6分
由f′（x）＞0得，∴或（舍去）
∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减； …8分
f（x）min=f（） …9分
即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）
即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a） …10分
整理得ln（a+1）＞﹣1
∴a＞﹣1， …12分
又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）． …13分
18.【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；（2）见解析．
试题解析：（1）的定义域为， …1分
当时，，故在单调增加； …2分
当时，，故在单调减少； …3分
当时，令，解得．当时，；
时，，故在单调增加，在单调减少 …5分
（2）不妨设．由于，故在单调减少． …6分
所以等价于，
即． …8分
令，则．…10分
于是． …11分
从而在单调减少，故，即，
…12分
故对任意，，． …13分
19.【答案】解（1）
（1）f′(x)=a+= (x＞0)…………………………… （1分）
①当a≥0时，f′(x)＞0，f′(x)在（0，e］上单调递增
f(x)=f(e)=ae+1=-3， （舍去）…………………………… （3分）[Z#X#X#K]
②当 f′(x)=0 时
ⅰ）当，即时，f(x)在上单调递增，在上单调递减
最大值 则 5分
ⅱ）当时，即时，f′(x) 0 f(x)在（0，e］上单调递增
f(x)最大值f(e)=ae+1=-3， （舍去） 7分
综上：函数f(x)在上的最大值为-3时
（2）由已知转化为＜
又x∈（0，1）时=2………………………………………（9分）
由（1）知，当a≥0时，f(x)在（0，+∞）上单调递增，值域为R，不合题意（或举出反例：存在f(e³)=ae³+3＞2，不合题意，舍去) （11分）
当a＜0时，f(x)在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减
∴=f()=-1-ln(-a) （13分）
∴-1-ln(-a)＜2 解得a＜ （14分）
答a的取值范围是
20．（1）（2）（3）
试题解析：（1）设在处的切线方程为，因为
，所以，故切线方程为. …1分
当时，，将（1,6）代入，得. …3分
（2），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解. …4分
令，则， …5分
所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.
又. …7分
故实数的取值范围是. …8分
（3），所以.
因为存在极值，所以在上有根， …9分
即方程在上有根，则有.
显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根.
记方程的两根，则， …11分
解得, ，又， …13分
即，故所求的取值范围是. …14分
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