2016江苏高考压轴卷 数学 Word版含答案.doc

www.ks5u.com ‎2016江苏高考压轴卷 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）‎ ‎1.若集合，，则 ．‎ ‎2.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数 ． ‎ ‎3.若原点和点在直线的异侧，则的取值范围是 ．‎ ‎4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 ‎ .‎ 结束 ‎ 开始 ‎ n←1 ，x←1‎ x← ‎ y ← 2y + 1 ‎ 输出x ‎ N ‎ ‎（第5题） ‎ n > 5 ‎ Y ‎ n ← n + 1 ‎ ‎5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为 ． ‎ ‎6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 .‎ ‎7.若且是第二象限角，则 .‎ ‎8.正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 .‎ ‎9.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 .‎ ‎10.不等式组所表示的区域的面积为 .‎ ‎11. 已知外接圆的半径为2，圆心为，且，，则的值等于 ．‎ ‎12. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记（1，2，…，10），则 ．‎ 第12题 ‎13. 在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．‎ ‎14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 ．‎ 二、解答题 ‎15. （本小题满分14分）‎ ‎（本大题满分14分）‎ 如图，在△中，点在边上，，，，．‎ A B C D 第15题 ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求△的面积．‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．‎ P A B C D E ‎（第16题）‎ ‎（1）求证：PC // 平面BDE；‎ ‎（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．‎ ‎17. （本大题满分14分）‎ 如图，，是海岸线，上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线，‎ 的距离分别为，．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．‎ ‎（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？‎ ‎（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点的坐标．‎ ‎（第17题）‎ O M ‎18. （本大题满分16分）‎ 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值；‎ ‎（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的单调减区间；‎ ‎（2）若存在m>0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．‎ ‎20.（本大题满分16分）‎ 已知数列的通项公式为，其中，，．‎ ‎（1）试写出一组，的值，使得数列中的各项均为正数；‎ ‎（2）若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值；‎ ‎（3）若，数列满足，其前项和为，且使(，，)的和有且仅有4组，，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，的最小值．‎ 数学附加题 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ A B C E F D O 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE^BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BE×CE＝EF×EA．‎ B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．‎ D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 设均为正数，且，求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 ‎ ‎ 文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．‎ ‎（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；‎ ‎（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．‎ ‎（1）请分别对，构造一组“好数”；‎ ‎（2）证明：对任意正整数，均存在“个好数”．‎ 答案与提示 一、填空题 ‎1. 2. 3. ‎4. 0.032‎ 5. 6. 7. 8.4 9. 10.16 1.12 12.180 13. 200 14.9‎ 解析：‎ ‎11. 如图，取BC中点D，联结AD，则，‎ 又因为，所以O为BC的中点，‎ 因为，所以是等边三角形，，‎ 因为ABC外接圆的半径为2，所以，，‎ 所以，故答案为12.‎ ‎12. 延长，，则，又，所以，即，则，则，故答案为180.‎ ‎13. 等差数列中的连续10项为，‎ 遗漏的项为且则 ‎，化简得，所以，，‎ 则连续10项的和为，故答案为200.‎ ‎14. 令，‎ 在同一坐标系下作出两函数的图像：‎ ‎①如图(1)，当的在轴上方时，，，‎ 但对却不恒成立；‎ ‎②如图(2)，，令得，‎ 令得，‎ 要使得不等式在上恒成立，‎ 只需，，.‎ 综上，，故答案为9．‎ 二、解答题 ‎15. 解：（1）在△中，因为，设，则．‎ 在△中，因为，，，‎ 所以．‎ 在△中，因为，，， ‎ 由余弦定理得．‎ 因为，所以，‎ 即．‎ 解得．所以的长为5. ‎ ‎（2）由（Ⅰ）求得，．‎ 所以，从而．‎ 所以．‎ ‎16. 证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．‎ P A B C D E O ‎ 因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．‎ ‎ 因为 E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．‎ ‎ 因为PC平面BDE，OEÌ平面BDE，所以PC // 平面BDE．‎ ‎ （2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．‎ ‎ 因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．‎ ‎ 因为OEÌ平面BDE，DEÌ平面BDE，OE∩DE＝E，‎ ‎ 所以PA⊥平面BDE．‎ ‎ 因为PAÌ平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．‎ ‎17. 解：（1）由已知得，直线的方程为，‎ 设，由及图得，，‎ 直线的方程为，即， ‎ 由得即， ‎ ‎，即水上旅游线的长为．‎ 游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．‎ ‎（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为.‎ 由（1）知直线的方程为，‎ ‎，则直线的方程为，‎ 所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．‎ 解法2：设游轮在线段上的点处，则，， ‎ ‎．‎ ‎，，，‎ 当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1，5).‎ ‎18.解：（1）由题意得，，所以 又点在椭圆上，所以解得 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）由（1）知，设点 则直线的方程为 ① 直线的方程为 ②‎ 把点的坐标代入①②得所以直线的方程为 令得令得 所以又点在椭圆上，‎ 所以即为定值．‎ ‎（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，‎ 设点则圆的方程为 由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是 设点是椭圆上任意一点，则 当时，最小，所以 ①‎ 假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则 ②‎ 又点在椭圆上，所以 ③‎ 由①②③得或 当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意.‎ 综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是 ‎19. 解：（1）当时，‎ ‎　　当时，，‎ ‎　　由，解得，‎ ‎　　所以的单调减区间为，‎ ‎　　当时，，‎ ‎　　由，解得或，‎ ‎　　所以的单调减区间为，‎ ‎　　综上：的单调减区间为，．‎ ‎（2） 当时，，则，‎ 令，得或，‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以有极大值，极小值，‎ 当时， ‎ 同（1）的讨论可得，在上增，在上减，‎ 在上增，在上减，在上增，‎ ‎　　且函数有两个极大值点，‎ ‎　　，‎ ‎　　，‎ ‎　　且当时，， ‎ 所以若方程恰好有正根，‎ 则（否则至少有二个正根）．‎ ‎　　又方程恰好有一个负根，则．‎ ‎　　令，则，‎ ‎　 所以在时单调减，即，‎ 等号当且仅当时取到．‎ ‎　　所以，等号当且仅当时取到．‎ 且此时，‎ 即，‎ ‎　　所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．‎ ‎20. 解：（1）、（答案不唯一）．‎ ‎（2）由题设，．‎ 当，时，均单调递增，不合题意，因此，．‎ 当时，对于，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 由题设，有，．‎ 于是由及，可解得．‎ 因此，的值为7，8，9，10，11．‎ ‎（4）因为，且，‎ 所以 因为（，，），所以、．‎ 于是由，可得，进一步得，‎ 此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．‎ 又，，…，中有至少个连续项的值相等，‎ 其它项的值均不相等，不妨设，于是有，‎ 因为当时，，所以，‎ 因此，，即的最小值为．‎ ‎21．【选做题】‎ A B C E F D O A．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．‎ 因为AB＝BC，所以AD＝DC．‎ 因为DE^BC，AB^BC，所以DE∥AB，‎ 所以CE＝EB．‎ 因为AB是直径，AB^BC，所以BC是圆O的切线，‎ 所以BE2＝EF×EA，即BE×CE＝EF×EA．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵的特征多项式为，‎ 由，解得，．‎ 当时，特征方程组为 故属于特征值的一个特征向量.‎ 当时，特征方程组为 故属于特征值的一个特征向量．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：曲线C的直角坐标方程为， ‎ 圆心为，半径为， ‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以弦长． ‎ D．选修4—5：不等式选讲 因为x＞0，y＞0，x－y＞0，‎ ‎， ‎ ‎=，‎ 所以． ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：‎ 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．‎ 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P＝C()2()3＋C()2()C()3＋C()‎3C()3＝．‎ ‎（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（1）当时，取数，，因为，‎ ‎　　当时，取数，，，则，‎ ‎，，即，，可构成三个好数． ‎ ‎（2）证：①由（1）知当时均存在，‎ ‎②假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，‎ ‎　　使得对任意，都有成立，‎ ‎　　则当时，构造个数，，（*）‎ ‎　　其中，‎ ‎　　若在（*）中取到的是和，则，所以成立，‎ ‎　　若取到的是和，且， ‎ ‎　　则，由归纳假设得，‎ ‎　　又，所以是A的一个因子，即，‎ ‎　　所以， ‎ 所以当时也成立． ‎ 所以对任意正整数，均存在“个好数”. ‎