四川省高考压轴卷
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}
2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
3. 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
5．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（ ）
A．6 B．0 C．2 D．2
6．487被7除的余数为a（0≤a＜7），则展开式中x﹣3的系数为（ ）
A．4320 B．﹣4320 C．20 D．﹣20
7．已知，则方程的根的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8. 已知，若圆：，圆：恒有公共点，则的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
9．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ）
A．720 B．270 C．390 D．300
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双
曲线于两点且，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（﹣2）7的展开式中，x2的系数是 ．
12. 已知等差数列的前项和为，若，则 .
13．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）= ．
14．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为
15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ．
①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；
②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；
③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=5，则△ABC的形状是直角三角形．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）已知在中，角所对的边分别为且
.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ) 若，的面积为，求.
17. (本题满分12分) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．(本题满分12分)如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。
20（本小题13分）
在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在轴上滑动，点M在线段AB上，且,
（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；
（2）过点的直线与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求面积的最大值。
21. （14分）已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值； 3分
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； 5分
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围． 6分
数学参考答案及评分意见（理工类）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
1、【答案】B
解析：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}，
∵B={x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B={﹣1，0，1}，
2、【答案】B
解析：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．
∴=3+4i．
故选：B．
3、【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
4、【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
5、【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
6、【答案】B
解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，
∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），
∴a=6，
∴展开式的通项为Tr+1=，
令6﹣3r=﹣3，可得r=3，
∴展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，
故选：B．.
7、【答案】C
【解析】由，设f(A)=2,则f(x)=A,则，则A=4或A=，作出f(x)的图像，由数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。
8、【答案】C
【解析】由已知，圆的标准方程为，圆的标准方程为
，∵ ，要使两圆恒有公共点，则
，即 ，解得或，故答案选C
.9、【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．
各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： ++=390．
故选：C．
10、【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得
，又，， ，
，①，
②，在中，，将①②代入得
，化简得：
，令，易知在上单调递减，故
，，，故答案 选C.
11、【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．
由，得r=3．
∴x2的系数是．
故答案为：﹣280．
12. 【答案】 36
解：由等差数列的性质及已知可得， 又，，答案应填：36.
13．【答案】：．
解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）====．
故答案为：．
14．【答案】：2x﹣y﹣1=0
解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，
∴圆心与点P确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN所在直线的斜率为2，
则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0
15. 【答案】：①②③
解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
16、解：(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有， 即. 3分
由余弦定理得：，又，故. 6分
(Ⅱ) 的面积为，，①， 8分
又由(Ⅰ)及得，② 10分
由 ①②解得或. 12分
17解：（1）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=﹣1+2n； 6分
（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=﹣1﹣（n﹣1）•2n，
于是Tn=1+（n﹣1）•2n．
则所求和为 6分
18．解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，
∴； 3分
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，
以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
可得，
∴，，5分
设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，﹣），
∴cos＜，＞==，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为 4分
19、（1）（2）的分布列为
数学期望为--
解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)＝
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-------------4分
（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
，，
------------------9分
所以，的分布列为
数学期望为---------------------12分
20解：（1）由题知，设
有代入得，
所以曲线C的方程是 …………..4分[来源:Z.xx.k.Com]
（2）当直线的斜率不存在时，即，此时 ……..5分
当直线的斜率存在时，设，
联立，有
……………..7分
由题知过N的直线，且与椭圆切于N点时，最大，故设
联立与椭圆方程得，此时
的距离，所以
化简……………….. 10分
设，有
，所以函数在上单调递减，当时，函数取得最大值，即时，
综上所述 ……………….13分.
21．解：（1），令，得x = 1．
列表如下：
x
（-∞，1）
1
（1，+∞）
+
0
-
g(x)
↗
极大值
↘
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． 3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数． 设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数． 设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立． ∴恒成立．
设，∵=，xÎ[3，4]，
∴，∴< 0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 -．
∴a≥3 -，∴的最小值为3 -． 8分
（3）由（1）知在上的值域为．
∵，，
当时，在为减函数，不合题意．
当时，，由题意知在不单调，
所以，即．①
此时在上递减，在上递增，
∴，即，解得．②
由①②，得．
∵，∴成立．
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为． 14分
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