导数及其应用
一、选择、填空题
1、已知函数的导数的最大值为5，则在函数图象上的点（1，f（1））处的切线方程是
A、3x－15y＋4＝0 B、15x－3y－2＝0
C、15x－3y＋2＝0 D、3x－y＋1＝0
2、已知是函数的一个极大值点，则的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3、已知为R上的连续可导函数，且，则函数的零点个数为__________
4、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ．
5、若函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
6、若过点A(2，m)可作函数对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7、已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当(是函数的导函数)成立, 若，，,则的大小关系是( ）
A． B． C． D．
8、已知函数的图像在点处的切线方程是，是函数的导函数，则 .
答案：
1、B 2、B 3、0
4、 【解析】函数和函数互为反函数图像关于对称，则只有直线与直线垂直时才能取得最小值。设，则点到直线的距离为，令，则，
令得；令得，
则在上单调递减，在上单调递增。
则时，所以。
则。（备注：也可以用平行于的切线求最值）
5、D
【解析】函数存在唯一的零点，即方程有唯一的实根直线与函数的图象有唯一的交点，由，可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值，，故当时，直线与函数的图象有唯一的交点.
或因由得或，若显然存在唯一的零点，若，在和上单调递减，在上单调递增，且故存在唯一的零点，若，要使存在唯一的零点，则有解得，综上得.
6、C 7、A 8、
二、解答题
1、已知函数。
（I）若在＝1处取得极值，求实数的值；
（II）若≥5－3恒成立，求实数的取值范围；
2、已知函数。
（I）设，若函数在区间（0,2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围；
（II）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于直线＝1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。
3、设常数，，．
（1）当时，若的最小值为，求的值；
（2）对于任意给定的正实数、，证明：存在实数，当时，．
4、已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.
5、已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在，使得（是自然对数的底数），
求实数的取值范围。
6、已知函数，曲线在点处的切线方程为
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
7、已知定义在R上的偶函数，当时，.
（1）当时，求过原点与函数图像相切的直线的方程;
（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有.
8、设，
（1） 当=1时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 若是函数的极大值点，求的取值范围；
（3） 当时，在上是否存在一点，使成立？说明理由。
9、已知函数．
（Ⅰ）若函数在[，e]上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求在[1，2]上的最大值和最小值．(注意:)
10、已知函数
f (1)讨论函数 f (x)的单调性；
（2）若对任意的a [1,2)，都存在 (0,1]使得不等式成立，
求实数m 的取值范围.
11、已知函数，.
（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：，,,）.
12、已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.
13、已知函数.（1）求函数的单调区间；
（2）若方程存在两个不同的实数解、，求证：.
解答题参考答案
1、解：（Ⅰ）∵，
∴．………………………………….….. 1分
由题意得，即，解得．…………….. 2分
经检验，当时，函数在取得极大值．……….. 3分
∴.………………………………………………………..……….4分
（Ⅱ）设，则函数的定义域为．
∴当时，恒成立．
于是，故．………….…………………….……5分
∵．
∴方程有一负根和一正根，．其中不在函数定义域内．
当时，，函数单调递减．
当时，，函数单调递增．
∴在定义域上的最小值为．……………………………………….……7分
依题意．即．又，
于是，又，所以．
∴，即，…………..……9分
令，则．
当时，，所以是增函数．
又，所以的解集为．…... 11分
又函数在上单调递增，
∴．
故的取值范围是．……………………………….……………………12分
解法二：由于的定义域为，
于是可化为．……………………..……5分
设．则．
设，则．
当时，，所以在减函数．
又，
∴当时，，即当时，，
∴在上是减函数．
∴当时，.………….……..…8分
当时，先证，
设，，
是增函数且，，即，
当时，
…..11分
综上所述的最大值为2．
∴的取值范围是．………………………………………….………12分
2、
3、【解析】………………1分
将代入得,………………3分
由,得,且当时,,递减；………………4分
时,,递增；故当时,取极小值,
因此最小值为,令,解得.………………6分
(Ⅱ)因为,………………7分
记,故只需证明:存在实数,当时,,
[方法1] ,………………8分
设,,则
易知当时,,故 ………………10分
又由解得:,即
取,则当时, 恒有.
即当时, 恒有成立.………………12分
[方法2] 由,得:,………………8分
故是区间上的增函数.令,,,
则,因为,………………10分
故有
令,解得: ,
设是满足上述条件的最小正整数,取,则当时, 恒有,
即成立.………………12分
4、
5、解：（Ⅰ）．……………………（1分）
因为当时，，在上是增函数，
因为当时，，在上也是增函数，
所以当或，总有在上是增函数，……………………………（2分）
又，所以的解集为，的解集为，……（3分）
故函数的单调增区间为，单调减区间为．……………………（4分）
（Ⅱ）因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．………………………………………（5分）
又因为，，的变化情况如下表所示：
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．………（7分）
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．………………………………（9分）
所以，当时，，即，
函数在上是增函数，解得；…………………（10分）
当时，，即，
函数在上是减函数，解得．………………（11分）
综上可知，所求的取值范围为．……………………… (12分)
6、解：（I）∵且直线的斜率为0，又过点，
∴-------------------------------------------------------------------2分
即解得-----------------------------------------------------3分
（II）当时，不等式
----------------5分
令，----------------7分
令，
①当即时，在单调递增且，所以当时，，在单调递增，即恒成立．------------9分
②当即时，在上上单调递减，且，故当时，即
所以函数在单调递减，----------------------------------------------10分
当时，与题设矛盾,
综上可得的取值范围为------------------------------------------------12分
7、解：（1）
解法1：因为为偶函数，当时，， ……1分
， ……2分
设切点坐标为，则切线斜率为
切线方程为 ……3分
又切线过（0，0），所以 ……4分
，切线方程为 ，即 ……5分
解法2：当时， ，， 了 ……1分
记过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，
则切线L斜率为 切线方程为 ……2分
又切线过（0，0），所以 ……3分
，切线方程为 ， ……4分
为偶函数，图像关于y轴对称，
∴当时，设过原点与相切的直线方程为
即 ……5分
（2）因为任意，都有，故x=1时，
当时，，从而，∴
当时，，从而，
∴ ，综上 ， ……………6分
又整数，即，故，故x=m时，
得：， 即存在，满足 ……………7分
∴ ，即， ……………8分
令，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增， ……………9分
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解，
且当时，当时，
，故，此时. ……………10分
下面证明：对任意恒成立，
①当时，即，等价于，
，∴， ……………11分
②当时，即，等价于
令，则，在上递减，在上递增，
∴，而，
综上所述，对任意恒成立。 ……………12分
8、解：（1）当时，,,……………1分
所以曲线在点处的切线的斜率为.…2分
所求切线方程为, 即.………3分
（2）,
令得，，,………4分
①当即时， 随的变化情况如下表：
递减
极小值
递增
由表知是函数的极小值点，不合题意；
②当即时，随的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表知是函数的极小值点，不合题意；
③当即时，随的变化情况如下表：
递增
非极值
递增
递增
非极值
递增
由表知不是函数的极值点，不合题意；
④当即时， 随的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
递增
极大值
递减
极小值
递增
由表知是函数的极大值点，适合题意；………7分
综上所述，当时，是函数的极大值点．即所求取值范围是.…8分
（3）假设当时，在存在一点，使成立，
则只需证明时, 即可． ………9分
由（2）知，当时，
函数在上递减，在上递增，
．
所以只需证明或即可. ………10分
∵
由知，
∴ 即成立，所以假设正确，………11分
即当时，在上至少存在一点，使成立．………12分
9、解（Ⅰ）在[，e]上单调递减，
在[，e]上恒成立………………………1分
方法一： 在[，e]上恒成立………2分
令令则
;
1
/
-
0
+
/
极小值2
………4分
……………6分
方法二：（可做如下分类讨论）
（1）当时，结论显然成立………………………2分
（2）当时，可化为：对任意 [，e]上恒成立………3分
显然，当时，
对钩函数在上是减函数，在上是增函数。…………4分
所以要使得在 [，e]上恒成立，只需或.………5分
综上：
（Ⅱ）
令则.
①.在[1，2]上单调递减.
………………8分
②
………………9分
………………11分
综上所述:
（1）
（2）
……12分
10、
11、解：（Ⅰ）函数与无公共点，等价于方程在无解.…2分
令，则令得
＋
0
－
增
极大值
减
因为是唯一的极大值点，故……………………………………4分
故要使方程在无解，当且仅当
故实数的取值范围为…………………………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立.……………………………………………6分
令，则，
令，则，………………………………………7分
因为在上单调递增，，，且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则，…………………………………………………………………………9分
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
则取到最小值，
所以，即在区间内单调递增.………………………………11分
，
所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. …… ………12分
12、解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）.
（1分）
①当，即时，
因为当时，；当时，； （2分）
所以在上单调递减，在上单调递增. （3分）
②当，即时，
因为当时，，故在上单调递增. （4分）
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为. （5分）
（Ⅱ）在上存在一点，使得，即，
（6分）
也就是在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零. （7分）
由（Ⅰ）可知：
①当，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由，可得.
因为，所以； （8分）
②当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由，可得； （9分）
③当，即时， 可得最小值为，
（10分）
因为，所以，
故，此时，不成立. （11分）
综上讨论可得所求的范围是：. （12分）
13、解：（1）函数的定义域为：…………1分
…………3分
当时，，的单调递增区间为……4分
当时，当时，，的单调递增区间为；……5分
当时，，的单调递减区间为；……6分
当时，，为的极小值
（2） 方程存在两个不同的实数解、，
因此必能不为单调函数， 所以，……7分
令，则的的单调递减区间为,单调递增区间为,最小值
∴, 令，，
∵ ……8分
∴在上单调递增，且，∴当时，
∵ ，∴，
……10分
∵, ∴……11分
∵ 的单调递增区间为，、
∴, ∴……12分
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