立体几何
1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
得该几何体的表面积是________.
A
V
C
B
图2
2．如图2，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A． B．
C． D．
3．多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )
A． B． C． D．
4．图1中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，
则侧视图中的h=_________cm．
5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.
A． B． C． D．4
图1
正视图
侧视图
俯视图
6．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）
A． B．
C． D．
答案： 12π B C 6 B C
7（本小题满分14分）
如图1,平面五边形SABCD中沿AD折起成.如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心，为上一点，.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值。
M
O
C
B
A
D
B
A
S
D
C
S
如图1
如图2
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
图5
8（本小题满分14分）
如图5，已知六棱柱的侧棱
垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，，分别
是棱，上的点，且．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
9（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，
试确定 的值．
10．（本小题满分14分）
如图6，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，
AB∥CD，AD⊥CD，PA=PD=CD=2AB=2．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）记AD=，表示四棱锥P-ABCD的体积，
当取得最大值时，求二面角A-PD-B的余弦值．
11. （本小题满分14分）
在四棱锥中, 平面, ,底面是梯形, ∥，
（1）求证:平面平面;
（2）设为棱上一点,,试确定
的值使得二面角为60º.
12．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形， 为△内部一点，点在的延长线上，且．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面；
图4
（3）若，，求二面角的余弦值．
13．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD^底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF^PB.
（1）证明：PA//平面EDB；
（2）证明：AC^DF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：题知四边形为菱形，为菱形中心，连结，则，
因，故 ……………………………1分
又因为，且，在中
…
3分
所以，故 即 ………………………4分
又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心有，
所以, ……………………………5分
从而与平面SOM内两条相交直线OM,SO都垂直，所以 ………6分
（Ⅰ）法二如图2，连结，因为菱形，则，且，
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系， ……………………………2分
x
y
z
因，故
M
O
C
B
A
D
B
A
S
D
C
S
如图1
如图2
所以 …3分
由知，
从而，即 …………………4分
题意及如图2知,有,
………………………5分
所以 ……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,
设平面的法向量为，平面的法向量为 …8分
由得
故可取 ………………………………………………9分
由得
故可取 ……………………………………………………11分
从而法向量的夹角的余弦值为 ……………13分
故所求二面角的正弦值为. ……………………………14分
8（本小题满分14分）
第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
（1）证明：连接，，，，
在四边形中，且，
在四边形中，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以．………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．…………………………………………………………………………………………4分
所以．
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
所以，，，四点共面．………………………………………………………………………6分
（2）解：以点为坐标原点，，，所在的直线
分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，，…………………………8分
则，，
．……………………………………………………………………………………10分
设是平面的法向量，
则
即
取，则，．
所以是平面的一个法向量．………………………………………………12分
设直线与平面所成的角为，
则
．
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
9（本小题满分14分）
（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）
解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分
∴BQ⊥平面PAD． …………………5分
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分
∵PQ∩BQ=Q ， …………………4分
∴AD⊥平面PBQ． …………………5分
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；……8分
，，，．
设，则
，……9分
,∴，………10分
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．……12分
∵二面角为30°，∴，得……14分
法二：过点作//交于点，过作⊥交于点，连接，
因为面,所以⊥面，由三垂线定理知⊥，
则为二面角的平面角。…………9分（没有证明扣2分）
设，则，，
E
E
，……………10分
⊥，⊥，且三线都共面，所以//
， …………11分
在中，………13分
解得 ……………14分
10解：（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，-----------------------------1分
∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面平面，
∴AB⊥平面PAD --------------------------------------------2分
又∵平面PAD，
∴AB⊥PD------------------------------------------------------3分
（2）取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，----4分
又侧面PAD⊥底面ABCD，
且平面平面，
∴PE⊥底面ABCD，-------------------------------------------------------------------------5分
在PEA中，
∴（）------7分
∵-------------------------------9分
当且仅当，即时，“＝”成立，
即当取得最大值时， -----------------------------------------------------10分
解法1：∵，，∴PD⊥PA ，--------------------11分
又(1)知AB⊥PD，
∴平面,又PB平面
∴PD⊥PB，------------------------------------------13分
∴为二面角A－PD－B的平面角
在中,,
即当取得最大值时，二面角A－PD－B的余弦值为．-------------------14分
[解法2：以点E为坐标原定，EA所在的直线为x轴、PE所在的
直线为轴建立空间直角坐标系如图示：
则E（0，0，0），A(，0，0)，
D(，0，0)，P(0，0，)，
∴,
设平面PDB的法向量为
由得，，
令，则， ∴------------------------12分
又是平面PAD的一个法向量，
设二面角二面角A－PD－B的大小为，则，
即所求二面角A－PD－B的余弦值为．--------------------------------------------------14分]
11（1）证明：∵平面，
∴
在梯形中，过点作作，
在中，
又在中，
.……3分
.
………………………………5分
.
…………………………………………………………………………6分
……………………………………………7分
（2）法一：过点作∥交于点,过点作垂直于于点,连. ……8分
由（1）可知平面,平面,,
平面, ，
是二面角的平面角，
…………………10分
‖，
，
由（1）知=,，又
∥ ……12分
，
. …………………………………14分
（2）法二：以为原点,所在直线为
轴建立空间直角坐标系 (如图)
则.
令,则
. …………………………………………………………………9分
平面, 是平面的法向量. ………………………10分
设平面的法向量为.
则 ，即 即 .
令,得 ………………………………………………………12分
二面角为,
∴ 解得,
在棱上, 为所求. ……………………………………14分
12（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形， 为△内部一点，点在的延长线上，且．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面；
（3）若，求二面角的余弦值．
证明：（1）因为，，两两垂直，
所以，．
又△为等边三角形，，
所以，
故． …………………………………………………………………………3分
（2）因为，，两两垂直，
所以，平面，
而平面，所以． …………………………………………………………5分
取中点，连结，．
由（1）知，，所以．
由已知，所以．
所以，平面，
而平面，所以． …………………………………………………7分
所以，平面，
又，所以，平面平面． …………………………………………9分
图4
解：（3）（法一）由（2）知平面，
所以平面平面，
且平面平面，
过点作平面，且交的延长线于点，连接，
因为，，
由（1）同理可证，
在△中，，
所以，又因为，
所以平面，
所以为二面角的平面角， ………………………………………………11分
在直角△中，， ……………………………………………………12分
由（2）知，所以△为等腰直角三角形，
所以，所以，
所以，二面角的余弦值为． …………………………………………………14分
13（本小题满分14分）
证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG. （1分）
因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，（2分）
又因为E为PC的中点，，因此EG//PA. （3分）
而EGÌ平面EDB，所以PA//平面EDB. （4分）
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以AC^BD. （5分）
因为PD^底面ABCD，ACÌ底面ABCD，所以AC^PD. （6分）
而PD∩BD=D，所以AC^平面PBD. （7分）
又DFÌ平面PBD，所以AC^DF. （8分）
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，所以. （9分）
设，则，.
由EF^PB，得，即，即，
故. （10分）
设平面DEF的一个法向量，，，
由，得，解得，取. （11分）
又是底面ABCD的一个法向量， （12分）
所以， （13分）
故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为. （14分）
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