长春市普通高中2016届高三质量监测（四） 数学文科
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1. 已知集合，，则中元素的个数为
A. B. C. D.
2. 已知复数满足 ，则
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知直线与平面，下列命题中错误的是
A.若 ，则 B. 若 ，则
C.若 ，则 D. 若 ，则
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是
A. B. C. D.
6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
8. 已知等比数列单调递减，满足，则数列的公比
A. B. C. D.
9. 函数的大致图像为
10. 如图，从高为的气球上测量待建规划铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥的长为
A. B. C. D.
11. 棱长为的正四面体中，为棱上一点（不含两点），点到平面和平面的距离分别为，则的最小值为
A. B. C. D.
12. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为
A.4 B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13.已知，，则与的夹角为_______
14. 等差数列的前项和为，已知，，则使取最小值的等于 .
15. 已知圆的圆心在直线上，且经过原点和点，则圆的方程为 ___________.
16. 下列说法中正确的有：___________.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）
①电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；
②推理过程“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”中，小前提是错误的；
③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；
④在判断两个变量与是否相关时，选择了个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型为，模型为，模型为.其中拟合效果最好的是模型；
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2）分别是锐角中角的对边.若，，求面积的取值范围.
18. （本小题满分12分）
某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：
（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述５件产品中随机抽２件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．
（附：回归方程：，
参考数据：）
19. （本小题满分12分）
在四棱锥中，，，平面，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，的最小值为3，且△的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线不垂直于轴时，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求此定点坐标.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.
如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.
（1）求证：是的角平分线；
(2) 求证：.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
已知函数，不等式对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.
长春市普通高中2016届高三质量监测（四）
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C
7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A
简答与提示：
1. 【试题解析】C 由题意可知，所以. 故选C.
2. 【试题解析】B 复数,则. 故选B.
3. 【试题解析】A “”等价于“”，“”等价于“”，故选A.
4. 【试题解析】D D选项，若，则或，所以D错误. 故选D.
5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出，需时条件成立，当时条件不成立，从而. 故选C.
6. 【试题解析】C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为. 故选C.
7. 【试题解析】B 由题意可知，进而，从而. 故选B.
8. 【试题解析】B 由，且单调递减，可知，，可求得（舍掉）. 故选B.
9. 【试题解析】C 由题意，定义域为，排除A；当时，，排除B；当时，，单调递增，排除D. 故选C.
10. 【试题解析】A 设气球在地面上的射影点为，在中，，在中，. 故选A.
11. 【试题解析】D 连结，由正四面体棱长为1，有，由于，有
，由可得，所以. 故选D.
1. 【试题解析】A 由题意可知，设双曲线左焦点为，由为等边三角形，所以，从而，在中，由余弦定理得，，解得或（舍）. 故选A.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16. ①③④
简答与提示：
2. 【试题解析】由得，所以，与的夹角为.
3. 【试题解析】 由题意可知，故数列是递增数列，所以，所以使取最小值的.
4. 【试题解析】由题意可知，该圆心在原点和点的中垂线上，又在直线上，因此圆心为，半径为，因此圆的方程为.
5. 【试题解析】由题意可知，①是系统抽样，正确；②推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确. 故答案为①③④.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
6. (本小题满分12分)
【试题解析】解：(1) 将函数化简成为，根据列表
可知函数图像如图所示
(6分)
(2) 在中，，可知，由正弦定理可知，即，，，
则，其中，
因此的取值范围是. (12分)
1. (本小题满分12分)
【试题解析】(1)由题意可得，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)
(2)经计算，产品编号为①③的是不合格品，其余为合格品，从中随机抽2件共有如下10种情况：①②，①③，①④，①⑤，②③，②④，②⑤，③④，③⑤，④⑤，其中至少有一件是合格品有9种情况，故所求事件的概率为. (12分)
2. (本小题满分12分)
【试题解析】解：取的中点为，连结
(1) 是的中点，
，且，
，
四边形为平行四边形，
，又 平面，平面
所以平面 (6分)
(2)是的中点，
所以
，平面，
又
设点到平面的距离为，
则，
故到平面的距离为 (12分)
1. (本小题满分12分)
【试题解析】解：(1) 因为是过焦点的弦，所以当轴时，最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，的周长为，所以，所以椭圆的方程为 (4分)
(2)设方程为，
则，化简得
所以①，②
则的方程为
化简有，将①②代入可得
，
所以直线恒过定点 (12分)
2. (本小题满分12分)
【试题解析】解：(1) (4分)
(2)
当时，在上单调递增，且值域为；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增
当时，不可能恒成立；
当时，，成立；
当时，在处取得最小值，则只需
即，所以，解得，所以
综上所述： (12分)
3. (本小题满分10分)
【试题解析】解(1)AB是圆O的直径，
,即
又MN垂直BA的延长线于点N，即
∴M、N、A、D四点共圆，∴
由于，所以
所以是的角分线 (5分)
(2) M、N、A、D四点共圆，
∴①
B、C、A、D四点共圆，∴②
① +②有
B、C、M、N四点共圆，所以
所以 (10分)
1. (本小题满分10分)
【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，，因此曲线的直角坐标方程为
点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (5分)
(2) 将为参数代入，有，
设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)
2. (本小题满分10分)
【试题解析】(1)，所以. (5分)
(2)由(1)知所以
因为，所以，又因为，所以 （当且仅当时取“”）. (10分)
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