吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（四）数学理试题 Word版含答案.doc

‎ 长春市普通高中2016届高三质量监测（四） 数学理科 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）‎ ‎1. 已知集合，，则中元素的个数为 A. 　 B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数满足 ，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 设，则“”是“”的 A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.已知，，则 A.　 　 B. C.　 D. ‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是 是 否 开始 输出 结束 A. 　　B. C. 　D. ‎ ‎6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为 A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎7. 函数的部分图象如图所示，则 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎8. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是 A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎9. 如图，从高为的气球上测量待建规划铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥的长为 A.　 B. C.　 D. ‎ ‎10. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为 A.　 　B. C. 　D. ‎ ‎11. 棱长为的正四面体中，为棱上一点（不含两点），点到平面 和平面的距离分别为，则的最小值为 A.　 　 B. C.　 D. ‎ ‎12. 已知是定义在上的函数的导数，满足，且，则的解集为 ‎ A. 　　 B. C.　 D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13.已知圆的圆心在直线上，且经过原点和点，则圆的方程为 ___________.‎ ‎14. 任取实数，则满足的概率为_________.‎ ‎15. 等差数列的前项和为，已知，，则使取最小值的等于_ _.‎ ‎16. 下列说法中正确的有：___________.‎ ①已知直线与平面，若，，，则；‎ ②用数学归纳法证明，从到时，等式左边需乘的代数式是；‎ ③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；‎ ④在判断两个变量与是否相关时，选择了个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型为，模型为，模型为.其中拟合效果最好的是模型；‎ ⑤在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为.‎ 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；‎ ‎（2）分别是锐角中角的对边.若，，求的周长的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：‎ ‎（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？‎ ‎（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量表示其中合格品个数，求随机变量的分布列、期望和方差.‎ ‎（附：回归方程：，其中：‎ 参考数据：）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，，，平面，，，为中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的长.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，的最小值为3，且△的周长为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线不垂直于轴时，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求△面积的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（2）函数有两个零点,试判断的符号，并证明.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.‎ 如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.‎ ‎（1）求证：是的角平分线；‎ ‎(2) 求证：.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.‎ 在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数，不等式对恒成立.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.‎ 长春市普通高中2016届高三质量监测（四）‎ 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C ‎ ‎7. B 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示：‎ 1. ‎【试题解析】B 由题意可知，所以. 故选B.‎ 2. ‎【试题解析】D 复数,则. 故选D.‎ 3. ‎【试题解析】A “”等价于“”，“”等价于“”，故选A.‎ 4. ‎【试题解析】B 由可知，则. 故选B.‎ 5. ‎【试题解析】C 由程序框图可知，要输出，需时条件成立，当时条件不成立，从而. 故选C.‎ 6. ‎【试题解析】C　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为. 故选C.‎ 7. ‎【试题解析】B　由题意可知，进而，从而. 故选B.‎ 8. ‎【试题解析】B　可行域如图所示，目标函数可化为，若目标函数仅在处取最大值，则，即. 故选B. ‎ 9. ‎【试题解析】A 设气球在地面上的射影点为，在中，，在中，. 故选A.‎ 10. ‎【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为，由为等边三角形，所以，从而，在中，由余弦定理得，，解得或(舍).故选C.‎ 11. ‎【试题解析】D 连结，由正四面体棱长为1，有，由于，有，由可得，所以. 故选D.‎ 12. ‎【试题解析】A 由可知，即在R上单调递增，由得，则当时，. 故选A.‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 15. 6或7 16. ③④⑤‎ 简答与提示：‎ 1. ‎【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点的中垂线上，又在直线上，因此圆心为，半径为，因此圆的方程为. ‎ 2. ‎【试题解析】由题意，点所满足的区域如图所示，因此条件下，的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为，由几何概型可知概率为. ‎ 3. ‎【试题解析】由题意可知，，而，故公差，，则，现要求的最小值，对上式求导可知，当或时取最小值.‎ 4. ‎【试题解析】由题意可知，①中的位置不确定，因此①错误；②用数学归纳法证明 ，从到时，等式左边需乘的代数式应为，因此②错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确；⑤根据空间直角坐标系的性质可知，关于轴对称的点对为和，因此⑤正确. 故答案为③④⑤.‎ 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)‎ 5. ‎(本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】(1) 将函数化简成为 ‎，根据列表 可知函数图像如图所示.‎ ‎ (6分)‎ ‎(2) 在锐角中，，‎ 可知，由正弦定理可知，‎ 即，，周长，‎ 其中，因此的取值范围是. (12分)‎ 1. ‎ (本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】(1)由题意可得，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)‎ ‎(2)经计算，产品编号为①③的不合格品，其余为合格品，合格概率为 则，有 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 由于，则；. (12分)‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】解：取的中点为，连结 ‎(1) 是的中点，‎ ‎ ‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 又 平面，平面 所以平面 (6分)‎ ‎(2)以为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 ‎，‎ ‎，由题意可求得：‎ ‎.‎ 设为平面的法向量，为平面的法向量，则有：‎ ‎，所以 ‎，所以 二面角的余弦值为，‎ 化简得，所以，即 (12分)‎ 1. ‎ (本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】解：(1) 因为是过焦点的弦，所以当轴时，最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，的周长为，所以，所以椭圆的方程为 (4分)‎ ‎(2)设方程为，‎ 则，化简得 所以①，②‎ 则方程为 化简有，将①②代入可得 ‎，‎ 所以直线恒过定点，所以 设，则，整理得，‎ ‎，所以 因为，所以，所以 (12分)‎ 1. ‎ (本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】解：(1) (4分)‎ ‎(2)易知，不妨设 所以 所以 令，‎ 所以在上单调递减，而，所以当时，，‎ 所以当时，；当时，. (12分)‎ 2. ‎ (本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】解(1)AB是圆O的直径，‎ ‎,即 ‎ ‎ 又MN垂直BA的延长线于点N，即 ‎∴M、N、A、D四点共圆，∴ ‎ 由于，所以 所以是的角分线 (5分)‎ ‎(2) M、N、A、D四点共圆，∴①‎ ‎ B、C、A、D四点共圆，∴②‎ ① ‎+②有 ‎ B、C、M、N四点共圆，所以 所以 (10分)‎ 1. ‎(本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，，因此曲线的直角坐标方程为 点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (5分)‎ ‎(2) 将为参数代入，有，‎ 设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)‎ 2. ‎(本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】(1)，所以. (5分)‎ ‎(2)由(1)知所以 因为，所以，又因为，所以 （当且仅当时取“”）. ‎