2015～2016学年第二学期高三第十一模拟考试
理科数学试题
一、选择题（每题四个选项中只有一个正确，每小题5分，共60分）
1.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合（ ）
A. B. C. D.
3.已知某篮球运动员2016年度参加了25场比赛，从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场 中的得分如图1所示，则该样本的方差为（ ）
A.25 B.24 C.18 D.16
4.已知命题，若是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
6. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3
7．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
8. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A.1升 B.升 C.升 D.升
9. 直线，被圆截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
10.P是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
11.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12. 函数,其中,若动直线与函数的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为、、,则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题5分，共20-分）
13.幂函数过点，则定积分＝ ．
14.若，则的值为
15.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p= ．
16.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为 ．
三、解答题：（共6道题，满分70分）
17.（本小题满分12分）
如图△ABC中，已知点D在BC边上，且
（I）求AD的长，
(Ⅱ)求cosC.
18.如图，四面体中，、分别的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
19.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）
20．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
21.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
22.如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．
23.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
ρsin2θ＝2cosθ，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)证明|PM|，|MN|，|PN|成等比数列．
选修4—5：不等式选讲
24、设函数的最小值为．
（1）求；
（2）已知两个正数满足求的最小值．
高三十一模理科数学答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
A
B
B
B
D
B
B
C
二、填空题
13.. 14.-1 15.8 16.
17.(1)3 (2)
18.Ⅰ）证明：连结．
∵，，∴．
∵，，∴．
在中，由已知可得，，而，
∴，∴，即．
，
∴平面
（Ⅱ）解：取的中点，连结、、，由为的中点知，．
∴直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角．
在中，，，
是直角△AOC斜边AC上的中线，∴，
∴，即异面直线与所成角的余弦值为． [Z-X-X-K]
（Ⅲ）解：设点到平面的距离为．
∵，∴，
在△ACD中，CA=CD=2，AD=，∴，[Z-x-x-k.Com]
而，，∴，
∴点E到平面ACD的距离为．
方法1：（Ⅰ）同方法一：
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，
C(0，，0)，A(0，0，1)，E(，，0)，，
∴，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则
，∴，
令y=1，得是平面的一个法向量．
又，
∴点到平面的距离．
19.（1）p=
X可取值为2，3，4，5，其分布列为
X
2
3
4
5
P
∴E（X）=
20.解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①
因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，
将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…
（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，
设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，
由，
得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，
又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，
∴|AB|===，
又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，
综上，|AB|的最大值为2，
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，
∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，
当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…
21.（本小题满分12分）
解：（1）的定义域为（0，+∞），
当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；
当0＜＜1时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减
（2）因为，所以
当时，恒成立
令，则,
因为，由得，
且当时，；当时，.
所以在上递增，在上递减.所以，故
（3）由（2）知当时，有，当时，即，
令，则，即
所以，，…，，
相加得
而
所以，
22、解：连结CG，
∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°
同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC
又∵∠GAB与∠GCB同对弧BG，
∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，
∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高线
∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形，可得DH=DG．
23.解：(1)把代入ρsin2θ＝2cos θ，得y2＝2x
由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2x，x－y－2＝0.
(2)证明将(t为参数)代入y2＝2x，
整理得t2－10t＋40＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝10，t1·t2＝40，
∵|MN|2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝40
|PM|·|PN|= t1·t2＝40，∴|MN|2==PM|·|PN|
∴|PM|，|MN|，|PN|成等比数列……10分
24、解：（I）函数，
当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减
当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，
所以当x=1时，f（x）的最小值a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥
故有 +≥2≥，当且仅当m=n=时取等号．
所以+的最小值为．
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