一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则集合（ ）
A． B．或 C． D．
2.已知复数，则复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.对于函数，命题“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4.已知函数，，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5.已知是边长为4的等边三角形，则的斜二测直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．1 B． C． D．0
7.设满足约束条件：，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（ ）
A． B． C． D．
11.从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，，为切点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，把函数的零点从小到大的顺序排成一列，依次为，则与大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.哈三中高三一模理科参加数学考试学生共有1016人，分数服从，则估计分数高于105分的人数为 .
14.已知向量，的夹角为，，，则 .
15.已知，，现向集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为 .
16.在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.已知各项均不为0的等差数列前项和为，满足，，数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.
（1）估计直方图中网购金额的中位数；
（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.
19.已知四边形为矩形，，，且平面，点为上的点，且平面，点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成线面角的正弦值.
20.已知椭圆：，斜率为的动直线与椭圆交于不同的两点、.
（1）设为弦的中点，求动点的轨迹方程；
（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值.
21.已知函数，，，.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值集合.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，为以为直径的圆的切线，为切点，为圆周上一点，，直线交的延长线于点.
（1）求证：直线是圆的切线；
（2）若，，求线段的长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出的普通方程，的直角坐标方程；
（2）已知点，曲线与曲线的交点为，求.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）当时，求证：.
2016年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试理科数学答案
1-12 BCBDA CBBCA BA
13 508 14 15 16
17. 解：（I）
则；-----------------------------------------------3分
；-------------------------------------------------------------------6分
（II），
则
18. （I）中位数是13； ……………………………………………………………4分
（II）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，所以可能取值为，且, …………………6分
………8分
所以的分布列为
[
……………………………10分
数学期望 ……………………………12分
19. 解：（I）取中的，连接、
因为平面,所以为中点，
,
四边形为平行四边形，
平面. ………4分
（II）因为平面，所以为中点，，
因为平面，所以平面
所以 ………7分
以为坐标原点，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系
A
D
C
B
E
F
M
y
z
x
Q
………9分
平面的法向量为
所以线面角正弦值为 ………12分
20. 解：（Ⅰ）设， （1） （2）
（1）-（2）得：，即 ………….3分
又由中点在椭圆内部得，
所以点的轨迹方程为, ………….5分
（Ⅱ）由，得点坐标为， ………….6分
设直线的方程为，代入椭圆方程中整理得：
，由得
则 ………….7分
， ………….9分
所以 ………….10分
，当时，
………….12分
21. 解：（1）当时，设
………………………………………………2分
故在上单调递增 ……………………………………………….4分
（2）设
，因为，
所以递增.所以有：
当时，，所以单调递增，所以，成立；……………………….6分
当时，，所以单调递减，欲证不等式不成立；
当时，设零点为，则当时递减
递增，从而当，，与前提矛盾………………………….8分
综上，此时.
再设
设，易求，
再令，易知
且，从而由零点存在定理知。必存在唯一零点，使
当，递减，递增，且
设
当时，恒成立，递增，所以，原不等式成立；
……………………………………………….10分
当时，恒成立，递减，所以恒成立，矛盾；
当，设两根为，则递减，递增，递减，故此时仍不能恒成立.
综上所述，.
所以恒成立的的取值集合为.……………12分
22．解：（1）连接，，
又，所以,又，
所以,所以，因为为圆的切线，所以，直线是圆的切线； 5分
（2）中，,连接,则，
所以 10分
23.解：（1）的普通方程为，的普通方程为 5
分
（2）将直线的标准参数方程代入得，，
所以
24.解：（1），所以在单调递减，在上单调递增，所以，所以． 5分
（2）只需证，即证 10分
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