第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数为虚数单位）满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.用给个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ）
A． B． C． D．
3.曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）
6.设是等比数列的前项和，若，在（ ）
A． B． C． D．
7.实数满足若的最小值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知为同一平面内的两个向量，且，若与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11.在体积为的三棱锥中，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12.函数的最大值与最小值的乘积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某公益活动为期三天,现要为名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需人工作，第二天需人工作，第三天需人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答）
14.已知集合，则___.（用填空）
15.已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且为坐标原点）为正三角形，若射线与椭圆分别相交于点，则与的面积的比值为______.
16.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足，则数列的前项的和为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图，点是的边上一点，且，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的外接圆的半径为，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益y（单位：万元）
2
3
2
7
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19.（本小题满分12分）
如图，为圆的直径，点为圆上的一点，且，点为线段上一点，且，垂直圆所在的平面.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
为抛物线的焦点，过点的直线与交于两点，的准线与轴的交点为，动点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）当四边形的面积最小时，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，证明：；
（Ⅱ）当时，恒成立，求正实数的值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙的切线，是⊙的割线，，连接，分别于⊙
交于点，点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程.
（Ⅰ）当时，判断直线与的关系；
（Ⅱ）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若对任意实数，成立，求实数的值.
2016年高考考前质量检测考试（三）
理科数学参考答案及评分标准
评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.
2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4． 只给整数分数.选择题不给中间分.
一、选择题（每小题5分）
1. D 2. D 3. B 4. A 5. B 6. C
7. D 8. B 9. D 10. D 11. A 12. C
二、填空题（每小题5分）
13. 60 14. 15. 16.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）设AD=a，则AC=a，CD=2a，则.
∴
又∴为顶角为的等腰三角形，. ………………6分
（Ⅱ）在中，由得.
且
. …………………………………………………………12分
18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故. …………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是，
其中点分别为，
对应的频率分别为，
故可估计平均值为. ………8分
(Ⅲ) 空白栏中填5.
由题意可知，，，
，，
根据公式，可求得，，
即回归直线的方程为. ……………………………………………………12分
19．(Ⅰ)证明：连接CO，由AD=DB知，点D为AO的中点．
为圆上的一点，为圆的直径，。
由知，，
为正三角形，．
又垂直圆所在的平面，在圆所在的平面内，.
由，可得平面．…………………………………………………6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可建立如图所示的空间直角坐标．设，
则．．
设向量为平面的法向量，则，即
，取，则为平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量.
，
二面角的余弦值为. ……………………………………………………12分
20．解：(Ⅰ)∵F(1,0)，∴可设l:x=my+1代入y2=4x得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，则y1+y2=4m，x1+x2=4m2+2.
由＝＋及E(-1,0)得
(x+1,y)=(x1+1,y1)+(x2+1,y2)=(x1+x2+2,y1+y2)
∴y=y1+y2=4m，x=x1+x2+1=4m2+3,
消去m得y2=4x-12为所求点P的轨迹方程．…………………………………………………6分
此时直线l的方程为
x=1. ……………………………………………………………………12分
21．解：(Ⅰ)令，则
令则
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增；
所以单调递增.
则即原命题成立. ……………………………………………………4分
(Ⅱ)当时，不等式恒成立，
等价于，对于任意恒成立，
令，则.
令，
则.
由(Ⅰ)得q¢(x)＜0，则q(x)在上单调递减．
(1)当a＝1时，，且
在上，单调递增，在上，单调递减，所以的最大值为，即恒成立．
(2)当时，，
时，由，解得．
即时，＜0，单调递减，又p(1)＝0，所以此时＞0，
与恒成立矛盾．
(3)当时，，
时，由，解得．
即时，，单调递增，又p(1)＝0，所以此时＞0，
与恒成立矛盾．
综上，a的值为1. …………………………………………………………………………12分
选做题
22．证明：（Ⅰ）据题意得：AB²=AD·AE.
∵AC=AB，∴AC²=AD·AE，即.
又∵∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE. ………………………………………………5分
（Ⅱ）∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG=∠AEC.
又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF.∴FG∥AC. ……………………………………10分
23．解：(Ⅰ)C：(x-1)2+(y-1) 2=2，l:x+y-3=0,圆心(1,1)到直线l的距离为
所以直线l与C相交. ……………………………………………………………………4分
(Ⅱ)C上有且只有一点到直线l的距离等于，即圆心到直线l的距离为2.
过圆心与l平行的直线方程式为：x+y-2=0与圆的方程联立可得点为(2,0)和(0,2)．
……………………………………………………………………………10分
24．解：（Ⅰ）由|y－2|≤1，得－1≤y－2≤1，1≤y≤3.
所以实数y的取值范围是：{y|1≤y≤3}.…………………………………………………4分
（Ⅱ）
即
……………………………………………………………………………………10分
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