绝密★启用前
2016年高考冲刺卷（1）数学试卷【江苏版】
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，若，则实数的值为 ．
2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于第 象限．
3.运行如图所示的伪代码，其结果为 .
S←1
For I From 1 To 7 step 2
S←S + I
End For
Print S
4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 ．
5．函数的单调减区间是 .
6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .
7．以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为________．
8.已知△ABC是等边三角形，有一点D满足，且，那么 ．
9.若、均为锐角，且，，则 ．
10. 若实数满足，且，则的最小值为 .
11．已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为 ．
12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 .
13．是等差数列{an}的前n项和，若，则________．
14．已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为 .
二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． (本小题满分14分)
已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．
⑴求角的值；
⑵若，，成等差数列，试判断的形状．
16．（本小题满分14分）
C1
E
O
D1
B1
A1
F
D
C
B
A
如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， E，F分别是AB，BC的中点，A1C1 与B1D1交于点O.
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.
17．（本小题满分14分）
已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ï
(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.
（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；
（2）若，求椭圆离心率的取值范围
19．（本小题满分16分）已知数列满足，其中是数列的前项和．
（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
20．（本小题满分16分）
已知函数（），其中是自然对数的底数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；
（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D
四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
B
D
E
O
C
·
A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.
B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．
C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.
D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知正实数满足，求证：.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4， AA1⊥平面ABC； AB⊥AC，
（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．
23．（本小题满分10分)已知，若存在互不相等的正整数…，使得…同时小于，则记为满足条件的的最大值．
（１） 求的值；
（２） 对于给定的正整数，
（ⅰ）当时，求的解析式；
（ⅱ）当时，求的解析式．
2016年高考数学冲刺卷01（江苏卷）答案
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.【命题意图】本题考查集合的运算，解题关键是掌握集合并集的概念．
【答案】2
【解析】由题意，得,则,则.
2.【命题意图】本题考查复数的运算与复数的几何意义，考查运算求解能力．
【答案】一
【解析】因为，所以复数在复平面上对应的点位于第一象限.
3.【命题意图】本题考查算法中的循环结构、伪代码等知识，考查学生阅读图表能力与运算求解能力．
【答案】17
【解析】第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17．
4．【命题意图】本题考查抽样方法中的分层抽样，考查学生的数据处理能力与运算求解能力．
【答案】200
【解析】男学生占全校总人数为，那么
5．【命题意图】本题考查复合函数的单调性、函数的定义域与一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力．
【答案】
6．【命题意图】本题考查古典概型的基本计算方法，考查用列举法求事件的个数，考查运算求解能力．
【答案】
【解析】从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是．
7.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、抛物线与双曲线的几何性质，考查运算求解能力．
【答案】．
【解析】设双曲线的标准方程为，y2＝4x的焦点为，则双曲线的焦点为；y＝±x为双曲线的渐近线，则，又因，所以，故双曲线标准方程为．
8.【命题意图】本题考查向量的数量积运算，考查向量的线性运算，考查运算求解能力．
【答案】3
【解析】设正边长为，，
所以，
即，即，则．
9.【命题意图】本题考查三角恒等变换中的两角和与差的余弦公式、同角三角函数关系，考查对公式的灵活运用能力以及配角法等方法．
【答案】
10.【命题意图】本题考查用基本不等式求最值，考查对数的运算性质及配方法．考查学生的推理论证能力．
【答案】4
【解析】由已知，，又，所以
（当且仅当时取等号），所以最小值为4.
11．【命题意图】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力和运算求解能力．
【答案】
【解析】因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱锥的高，
．
12．【命题意图】本题考查直线与圆相交问题、点到直线的距离、直线方程等基础知识，考查运算求解能力．
【答案】
【解析】如果直线与轴平行，则,不是中点，则直线与轴不平行；设，圆心到直线的距离，令中点为，则，在中,得，解得，则直线的方程为．
13．【命题意图】本题考查等差数列的前项和公式，考查推理能力与运算求解能力．
【答案】．
14．【命题意图】本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质，以及函数与方程、零点等知识，考查学生运用分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等综合解决问题的能力．
【答案】(0,1)∪(9,+∞)
【解析】由，得，作出函数，的图象，
当，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则，此时，
当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，∴此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得（舍去）或，综上a的取值范围是.
二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． (本小题满分14分)
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，等差数列的性质，考查运算求解能力．
16．（本小题满分14分）
【命题意图】本题考查平面的基本性质，线面垂直的判断与性质．
【解析】
（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC． ………………………2分
由直棱柱知，所以四边形为平行四边形，所以AC∥．……5分
所以EF∥，
故，，F，E四点共面．……………7分
17．（本小题满分14分）
【命题意图】本题考查函数的应用题，用基本不等式求函数的最值等数学知识，考查学生阅读理解能力、数学建模能力与运算求解能力．渗透了数形结合思想与数学应用意识．
【解析】(1)当040，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7360............4分
所以，W＝....................................6分
(2)①当040时，W＝－－16x＋7360，
由于＋16x≥2＝1600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5760...........12分
综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6104..................14分
18．（本小题满分16分）
【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆相交问题、直线的位置关系等基础知识，，考查运算求解能力和数形结合思想的应用．
联立方程得：，消去得：
解得：或 …………14分
解得：
综上，椭圆离心率的取值范围为． …………16分
19．（本小题满分16分）
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，等差数列的判断与通项公式，函数与方程思想，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识解决问题的能力．
（3）由（2）得 ，
对于给定的，若存在，使得，
只需，
即，即，则， …………12分
取，则，
∴对数列中的任意一项，都存在和
使得． …………16分
20．（本小题满分16分）
【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点等知识，考查综合运用数学方法分析与解决问题的能力．
①当，即时，在上单调增，
………8分
②当，即时，在上单调减，在上单调增， 解得：
综上，的取值范围是． ………10分
（3） 设 ，
令 ，
令
0
0
增
极大值
减
极小值
增
， ………13分
，∴存在，时，，
时，．
在上单调减，在上单调增
又
由零点的存在性定理可知：的根，即． ………16分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
【命题意图】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力与推理论证能力．
B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
【命题意图】本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵乘法等基础知识，考查运算求解能力．
【解析】矩阵的特征多项式为， ……………2分
由，解得，. …………………………………………4分
当时，特征方程组为
故属于特征值的一个特征向量；………………………………7分
当时，特征方程组为
故属于特征值的一个特征向量． …………………………10分
C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
【命题意图】本题考查极坐标系与极坐标的概念、圆与直线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查转化与化归能力与运算求解能力．
D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）
【命题意图】本题考查基本不等式的应用，考查转化与化归能力和推理论证能力．
【解析】因为正实数满足，
所以，即， …………………………5分
所以
因此， ……………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分)
【命题意图】本题考查空间向量、二面角和直线垂直的应用等基础知识，考查应用向量法解决空间角和距离的能力与运算求解能力．
【解析】（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,
所以.
由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为. ………5分
23． （本小题满分10分)
【命题意图】本题考查分类讨论思想、归纳推理能力，考查对有一定难度和新颖性问题的进行分析与解决的能力．
【解析】（1）由题意，取，，满足题意，
若，则必有，不满足题意，
综上所述：的最大值为，即． ………………4分
（2）由题意，当时，
设…，…，
显然，时，满足，
∴从集合中选出的至多个，
时，，
∴从集合中选出的必不相邻，
又∵从集合中选出的至多个，
∴从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间，
∴， ………………6分
（ⅱ）当时，
从中选出的个：…，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，
∴，
取一串数为：…
（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）
微信/支付宝扫码支付