大庆一中高三下学期第三次模拟考试
数学试卷（理科）
一．选择题
1.已知全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
2.复数的共轭复数是( )
A． B． C． D．
3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4. 已知（ ）
A. B.- C. D.-
5. “双曲线的渐近线为”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.下列说法中正确的是：
A.若命题则
B.命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则实数”的逆否命题为真命题
C.已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加3个单位
D.已知随机变量，若，则
7.已知实数满足不等式组，则的最小值为（ ）
A、 B、 5 C、 4 D、无最小值
8.已知正三棱锥的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（ ）
A、 B、 C、 D
9.奇函数的定义域为，若为偶函数，且（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
10.已知为平面直角坐标系中第一象限的两点，，为坐标原点，若在方向上的投影相同，则的最大值为（ ）
A. B.3 C. D.6
11.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若关于的方程有唯一解，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.函数的图象在点（）处的切线的斜率为
C.函数在上单调递减 D.函数在上的最大值为
二．填空题
13.某几何体是由大小相同的正方体木块堆成的，其正视图、侧视图均如右图所示，则此几何体最少由_________块木块堆成．
14. 若的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为__________
15. 设函数在其图象上任意一点处的切线方程为且，则不等式的解集为________
16.设三角形的内角的对边分别是，若的面积为2，边上的中线长为，且，则中最长的边的边长为_________
三．解答题
17.（本小题满分12分）已知数列的前项和,数列满足
（1）求证：数列是等差数列
（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。
18.（本小题满分12分）某数学兴趣小组有男生30人，女生20人，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）根据以上数据计算并判断，能否有97.5%的把握认为“爱好几何”与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记A,B两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望
附表及公式:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明;
（Ⅱ）若为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点
（1） 求动点的轨迹的方程
（2） 过点作两条互相垂直的直线，若分别与轨迹相交于点，直线轴交于点,过点作直线交轨迹于两点，求面积的最大值。
21. （本小题满分12分）已知函数
（1） 讨论函数的单调性
（2） 若存在，使得对任意的，不等式（其中为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. （本题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若．
（1）求证：△∽△；
（2）求证：四边形是平行四边形．
23. （本题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线：（为参数,实数）,曲线：（为参数,实数）.在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与交于两点,与交于两点.当时,；当时,.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
24. （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数,且的解集满足．
（1）求实数的取值范围B；
（2）若,为B中的最小元素且,求证：.
大庆一中高三下学期第三次模拟考试
数学答案（理科）
一． 选择题 DCCBD BCBDC BD
二． 填空题5; 84; ;
三． 解答题
18.(Ⅰ)由表中数据得的观测值
所以根据统计有的把握认为“爱好几何”与性别有关.）
(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)
设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为.
(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种
可能取值为，，，
1
的分布列为：
.
19. 法一：
向量故.所以.
（2）.向量由点在棱上，设
故.由，得，因此，，解得.
即设为平面的法向量，则
即.不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，
则.
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.
法二：（1）取PD中点M，连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点，故EM//DC,且EM=DC,又由已知，可得EM//AB且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE//AM.
因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又BE//AM,所以BECD.
（2）如图，在三角形PAC中，过点F作FH//PA,交AC与H.因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FHAC. 又BFAC，得AC平面FHB，因此ACBH. 在地面ABCD内，可得CH=3HA，从而CF=3FP. 在平面PDC内，作FG//DC交PD于G，于是DG=3GP.由于DC//AB，故GF//AB，所以A,B,F,G四点共面. 由ABPA,ABAD，得AB平面PAD，故ABAG.所以PAG为二面角F-AB-P的平面角.
在PAG中，PA=2，PG=PD=，APG=，由余弦定理可得AG=,.所以,二面角F-AB-P的余弦值为
19.
21.解：（1）记.
（i）当时，因为，所以，函数在（0，+）上单调递增；
（ii）当时，因为，所以，函数在上单调递增；
（iii）当时，由，解得
所以函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
（2）由（1）知当时，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数的最大值是，对任意的，都存在，使得不等式成立，
等价于对任意的，不等式都成立.
即对任意的，不等式都成立，
记，由
，
由得或，因为，所以，
①当时，，且时，，
时，，所以，
所以时，恒成立；
②当时，因为，所以，
此时在上单调递增，且，
所以时，成立；
③当时， ，
所以存在使得，因此不恒成立.
综上，的取值范围是.
22.【解析】（1）∵是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点,
∴, ∴,又∵, ∴△∽△,
∴, 即．∵, ∴, ∴,
∴△∽△． （5分）
（2）∵,∴,即,
∴, ∵△∽△,∴,
∵是圆的切线,∴,∴,即,
∴, ∴四边形PMCD是平行四边形．（10分）
23. 24.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用,意在考查代数变形能力.
【解析】（1）因为,所以等价于,由知A是非空集合,所以 ,结合可得,即 实数的取值范围是（5分）
（2）由（1）知,所以
∴. （10分）
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